Bom, notações que eu vou usar:
XY -- segmento XY ou vetor XY, espero que não dê confusão.
<v,w> -- o produto interno de v com w
||v|| -- o módulo (norma, tamanho) do vetor v
vxw -- o produto vetorial de v com w
[u,v,w] -- o produto misto de u, v e w
|z| -- o módulo do número z
Então vamos lá: sejam X em AB e Y em CD tais que XY é a distância entre AB e
CD (faça um figurisco). Note que XY é ortogonal tanto a AB quanto a CD...
Assim, XY=c.n onde n=ABxCD e c é uma constante a ser calculada.
Melhor: X é a projeção ortogonal de A sobre XY, e Y é a projeção ortogonal
de D sobre XY. Então, XY é a projeção ortogonal de AD sobre a direção de n,
ou seja, o tamanho de XY é ||AD||.|cos(theta)|= |<AD,n>| / ||n|| (onde theta
é o ângulo entre AD e n).
Em suma: d= |<AD,ABxCD>| / ||ABxCD|| = | [AD,AB,CD] | / ||ABxCD||.
(Isto leva à fórmula do volume do tetraedro em função da distância entre
arestas opostas: V=(1/6).d.||AB||.||CD||.sin(alpha) onde alpha é o ângulo
entre AB e CD.)
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Poxa, eu ando dando aula de série de Fourier, e por causa disto fiquei com
vontade de escrever logo o ***vetor*** XY... É só lembrar que a projeção
ortogonal de v sobre w é o vetor (<v,w>/<w,w>).w. Então
XY=( <AD,ABxCD>/<ABxCD,ABxCD>) . ABxCD.
cuja norma é a expressão anterior para d.
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Era isso?
Abraço,
Ralph
2011/6/1 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>
> d -> 1/2 sqrt(-a^6 + 2 a^4 b^2 - a^2 b^4 + 4 m^2 - 2 a^4 m^2 + 2 a^2
> b^2 m^2 - a^2 m^4 - m^4 n^2 - 2 m^2 n^4 - n^6 + 2 m^2 n^2 o^2 + 2 n^4 o^2 -
> n^2 o^4)
> Sendo d a distância entre as arestas a e n
>
> Não sei o que quer dizer vetor (aliás, sei a definição mas não sei
> calcular), calculei d em função dos lados do tetradro
>
> []'s
> João
> ------------------------------
> From: vitor__r...@hotmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Produto Vetorial
> Date: Wed, 1 Jun 2011 14:15:30 +0300
>
> Exprima a distância entre duas arestas opostas AB e CD de um tetraedro ABCD
> em função de (AB),(DC),(AD).
> obs: (MN) quer dizer vetor MN
>
