Ah, já vi errinho de sinal no meio do caminho, no sinal de ab+ac+bc e no de abc. Corrigi abaixo, mas deve haver outros. De qualquer forma, a ideia ainda vale. 2011/6/27 Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>
> Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam > as 3 parcelas da sua soma? > > Considere a "famosa" identidade > trigonométrica sin7t=(8(cos2t)^3+4(cos2t)^2-4(cos2t)-1).sint > > (Desculpa, não pude resistir.) > > Note que t=kpi/7 (k=1,2,4) dá três raízes de sin7t, mas nenhum deles dá > raiz de sint. Então estes valores de t devem anular o termo entre > parênteses... Em outras palavras, se você considerar o polinômio > P(x)=8x^3+4x^2-4x-1, você verá que suas raízes são exatamente cos(2pi/7), > cos(4pi/7) e cos(8pi/7) -- exatamente porque é um polinômio do 3o grau, > então se eu achei 3 raízes distintas, achei todas. > > (O argumento também vale para k=3,5,6, mas então obtemos > cos(6pi/7)=cos(8pi/7), cos(10pi/7)=cos(4pi/7) e cos(12pi/7)=cos(2pi/7), que > são aquelas raízes de novo) > > Em suma, o problema agora é: sejam a,b e c as raízes de > P(x)=8x^3+4x^2-4x-1. Encontre a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3). > > Vou escrever a^(1/3)=A, b^(1/3)=B e c^(1/3)=C. Mas, do polinômio sabemos > que > a+b+c=-1/2, isto é, A^3+B^3+C^3=-1/2 > ab+ac+bc=-1/2, isto é, A^3B^3+A^3C^3+B^3C^3=-1/2 > abc=1/8, isto é, ABC=1/2. > > Poxa, eu até consigo fazer o resto, mas é HORRENDO. Vamos lá. > > Agora, talvez você já tenha visto a identidade > x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz)) > > Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(A,B,C) temos: > -1/2-3/2=-2=S(S^2-3D) (onde S=A+B+C e D=AB+AC+BC) > > Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(AB,AC,BC), temos: > -1/2-3(1/4)=-5/4=D(D^2-3SP)=D(D^2-3S/2) (onde P=ABC=1/2) > > Enfim, duas equações e duas incógnitas! Tire D da primeira e jogue na > segunda -- fica horrendo, mas dá uma equação polinomial de grau 9 em S, com > termos apenas em S^3, S^6 e S^9. Faça S^3=Z, resolva a equação cúbica em Z, > S é a raiz cúbica de Z. > > Argh! Tá, fiquei sem vontade de terminar as contas, e devo ter errado algo > no meio do caminho, mas saiu! > > Abraço, > Ralph > > > 2011/6/26 Jefferson Franca <jeffma...@yahoo.com.br> > >> Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão: >> Calcule o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 + >> (cos(8*pi/7))^1/3 ? >> abs >> > >
