Eh fiquei tambem com a impressao que, em geral, ac eh bem maior que a+c em
modulo.
Vejamos como formalizar isto. Primeiro vou me livrar de uns casos pequenos
(que soh vi serem necessarios depois que terminei o problema :P):
CASO 0: Se um deles for 0 (digamos a=0)
Entao -2=b+c, que tem uma infinidade de solucoes. Assim, temos as inumeras
solucoes do tipo (0,n,-2-n) com n inteiro, e suas permutacoes.
CASO 1: Se um deles for 1 (digamos a=1).
Entao bc-2=b+c+1, isto eh, (b-1)(c-1)=4. Temos entao
{b-1,c-1}={2,2},{-2,-2},{1,4} ou {-1,-4}. Daqui vem as solucoes novas:
(1,3,3), (1,-1,-1), (1,2,5) -- e permutacoes.
CASO 2: Se um deles for -1 (digamos a=-1)
Entao -bc-2=-1+b+c
bc+b+c+1=0
(b+1)(c+1)=0
Entao b=-1 ou c=-1. Assim temos as solucoes do tipo (-1,-1,n) e permutacoes.
Acho que agora jah dah para fazer o caso geral, onde vou supor que todos
sao, em modulo, maiores que 2. Mas os sinais atrapalham, entao vou
subdividir em mais casos:
CASO 3: Todos positivos (digamos a>=b>=c>=2).
a(bc-1)=b+c+2 (como bc-1>0, a>=2 e c<=b)
2(bc-1)<=2b+2
bc-1<=b+1
b(c-1)<=2
Que nao dah muitas opcoes.... Como b>=c>=2, soh fica a opcao b=c=2!
Em suma, achamos apenas a resposta (2,2,2).
CASO 4: Dois positivos, um negativo (digamos a>=b>=2 mas c<=-2)
Entao troco (a,b,c) por (A,B,-C) para ficar com A,B,C positivos. Fica:
-ABC-2=A+B-C
ABC+A+B=C-2
Mas ABC+A+B>=4C+2+2, entao:
C-2>=4C+4
C<=-2 (impossivel)
CASO 5: Dois negativos, um positivo (digamos a>=2 e -2>=b>=c)
Troco (a,b,c) por (A,-B,-C). Fica:
ABC-2=A-B-C
ABC+B+C=A+2
Mas ABC+B+C>=4A+2+2, entao:
A+2>=4A+4
3A<=-2 (impossivel)
CASO 6: Todos negativos (digamos, 0>c>=b>=a)
Troco (a,b,c) por (-A,-B,-C) (com A>=B>=C)
-ABC-2=-A-B-C
A(BC-1)=B+C-2
Como BC-1>0, A>=2 e C<=B, vem:
2(BC-1)<=2B-2
BC-1<=B-1
B(C-1)<=0 (impossivel, pois B,C>=2)
----////----
Resumindo tudo, as solucoes sao:
(0,n,-2-n), (-1,-1,n), (1,3,3), (1,2,5), (2,2,2) e permutacoes.
Abraco,
Ralph
2011/6/27 marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com>
> Achar todas as soluções inteiras da equação abc - 2 = a + b + c .
>
> É fácil achar algumas soluções.Como (2,2,2) ou (3,3,1),por exemplo.
> Isolando b,obtemos b=(a+c+2)/(ac - 1),a impressão que dá é que em geral
> o módulo de ac é maior que o módulo de a+c,
> o módulo do denominador é maior que o módulo do numerador e b não é
> inteiro.
> Tentei uma maneira de restringir ao máximo os possíveis valores de a e
> c,mas...emperrei.
> Obrigado a quem puder ajudar.
>
>
