O raciocínio do Dirichlet mostra que basta achar UM polinômio (não
constante) que tenha esta propriedade. Afinal, como ele mostrou, se p(x)
serve, então q(x)=(p(x))^2 também serve.
Mas seja lá quem for o polinômio mágico, eu sei que ou ele é um polinômio
par ou ele é ímpar. Afinal, escreva p(x)=P(x)+I(x) onde P(x) tem apenas os
termos de grau par e I(x) tem apenas os de grau ímpar.
Ora, p(x)^2=(P^2+I^2)+2PI. Note que P^2+I^2 é um polinômio par e 2PI é
ímpar.
Mas a condição manda que p^2=p(x^2+1), que é uma função par. Então o termo
2PI não pode existir, isto é, P=0 ou I=0. Assim, p(x) é par ou ímpar. E
x^2-x+1 não é um nem outro, então não funcionou...
Então precisamos ainda mostrar que existe UM tal polinômio!
Abraço,
Ralph
P.S.: Tem certeza que o enunciado é esse mesmo? Não seria, sei lá,
p(x^2+1)=(p(x))^2+1 ao invés?
2011/7/1 Johann Dirichlet <peterdirich...@gmail.com>
> Em 01/07/11, Johann Dirichlet<peterdirich...@gmail.com> escreveu:
> > Em 30/06/11, marcone augusto araújo
> > borges<marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
> >>
> >> 1) Se p é inteiro primo ímpar,mostre que o numerador da fração
> >> 1+1/2+1/3+...1/(p-1) é um múltiplo de p.
> >
> > 1) Teorema de Wolstenholme, se não me engano...
> >
> > Bora lá, usar o velho truque das pontas de Gauss: 1/k+1/(p-k)=p/(k(p-k));
> > assim sendo, temos um monte de frações p/(alguma coisa). Esta coisa
> > não será múltipla de p em momento nenhum, logo nada aniquila este
> > fator p.
> >
> >>
> >> 2) Mostre que existem infinitos polinômios p(x) com coeficientes reais
> >> tais
> >> que p(x^2+1) = [p(x)]^2.
>
> É mais mole do que eu pensei!
>
> 1 - Se P e Q são soluções da equação acima, P*Q também será. Óbvio!
> 2 - Um polinômio possível é x^2-x+1.
> Como sei? Simples:
>
> Se L é um zero de P, então L^2+1 também será.
> Se eu conseguir L=L^2+1, terei uma solução pronta!
> Basta abrir o polinomio sem medo.
>
>
> P.S.: saber todas as soluções me parece mais desgastante. Aplicando a
> transformação T(L)=L^2+1 um numero finito de vezes, todos os
> polinômios dos pontos fixos são soluções. A treta é saber se não
> escapa nenhum (até porque muitos desses polinomios são fatoráveis, I
> think so).
>
> >>
> >> 3) Uma corda AB,de comprimento constante,desliza sobre uma
> >> semicircunferência determinada por um diâmetro d.
> >> Considere o triângulo cujos vértices são: o ponto médio da corda e as
> >> projeções ortogonais dos seus extremos A e B
> >> sobre o diâmetro d.Mostre que ,durante o deslizamento da corda,esse
> >> triângulo é sempre isósceles e nunca muda de formato(i.é.,os ângulos do
> >> triângulo são constantes)
> >
> > Faz um desenho!
> > Diâmetro r;centro O, raio 1; corda AB, tamanho d, médio M; AB
> > projetado em r dá XY.
> >
> > O triangulo AOB é obviamente isósceles.
> > Os quadrilateros XOMA e YOMB são inscritíveis de diâmetros OA e OB
> > respectivamente (angulos de 90 graus).
> >
> > Temos OXM=OAM=OBM=OYM, logo XMY é isosceles. E o angulo OBA depende
> > unicamente de d.
> >
> > P.S.: duvido que os triangulos sejam todos congruentes. O angulo XOM
> > define o tamanho de XM.
> >
> >>
> >> Meus agradecimentos por qualquer esclarecimento.
> >
> >
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