Sobre a sua mesg: por "indução infinita" na derivação, nunca acharemos
um polinômio?
Comments:
Bem, não tô com a mensagem full, mas basicamente o Ralph provou que o
polinômio é par ou ímpar. Não dá pra ser coluna do meio.
Realmente, raiz 0 falha miseravelmente, isto é imediato. Mas, o lance
é: não existe nenhum polinômio que funcione??
Realmente,pensando na minha ideia das raizes, pareece que L^2+1 tem
modulo maior que L (uma desigualdade das medias mataria isso). Ou
seja, não tem como, depois de aplicar L^2+1 um numero finito de vezes,
voltar a L.
Quanto a outra, comecei a atacar hoje.
Em 04/07/11, Carlos Yuzo Shine<cysh...@yahoo.com> escreveu:
> Eu acho que não existem infinitos polinômios (a única solução é o polinômio
> nulo). Isso, é claro, falando do problema P(x^2 + 1) = [P(x)]^2.
>
> Antes, lembramos que zero não pode ser raiz de P: como o Ralph já provou,
> isso
> gera infinitas raízes e aí P é o polinômio nulo.
>
> Olha só: derivando P(x^2 + 1) = P(x)^2 dos dois lados encontramos
> 2xP'(x^2+1) =
> 2P(x)P'(x). Aí vou tentar usar uma ideia parecida com a do Ralph. x = 0 só
> pode
> ser raiz de P' (o que atesta o fato de P ser par, que também foi provado).
> Agora
> note que se x diferente de zero é raiz de P' então x^2 + 1 também é. Pena
> que só
> temos o zero. Mas aí fazemos de trás para frente (isto é, aplicamos uma
> inversa
> f de x^2 + 1): troca x = f(0) = i. Então i é raiz de P ou P'. Mas se for
> raiz de
> P, então i^2 + 1 = 0 é raiz e dá problema do mesmo jeito. Então é raiz de
> P'.
> Mas aí é só continuar.
>
> Definindo f melhor: f(r) é a raiz quadrada de r - 1 que tem argumento arg(r
> -
> 1)/2. A minha pergunta é: partindo do r = 0, ele entra em loop?
>
> Eu acho que não. De fato, f é injetiva: f(r) = f(s) implica (f(r))^2 + 1 =
> (f(s))^2 + 1 que é o mesmo que r = s. Então se a sequência n_0 = 0 e n_k =
> f(n_{k-1}) é periódica, ela é puramente periódica. Mas 0 não é periódica
> para
> f^{-1}(x) = x^2 + 1, então acabou (eu acho).
>
>
> Isso faz sentido?
>
> []'s
> Shine
>
>
> ----- Original Message ----
> From: Johann Dirichlet <peterdirich...@gmail.com>
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Sent: Mon, July 4, 2011 12:46:11 PM
> Subject: Re: [obm-l] Problemas(polinomoi- ideias!)
>
> Puxa! Mas onde esta o erro da minha solução?
>
> Anyway, inicialmente pensei em fatorar o dito polinomio.
> Creio que ele seja mônico, abrindo a expressão geral o fator máximo é a^2=a.
> Aí, escreve ele na forma deprodutos (x-a_i).. Basicamente, um lado
> fica na forma
> x^2+1-a_ i, e o outro como (x-a_ i)^2. Supóndo que as raízes são, em
> alguma ordem, iguais, dá pra chegar em algum lugar.
>
>
>
>
> Em 01/07/11, Ralph Teixeira<ralp...@gmail.com> escreveu:
>> O raciocínio do Dirichlet mostra que basta achar UM polinômio (não
>> constante) que tenha esta propriedade. Afinal, como ele mostrou, se p(x)
>> serve, então q(x)=(p(x))^2 também serve.
>>
>> Mas seja lá quem for o polinômio mágico, eu sei que ou ele é um polinômio
>> par ou ele é ímpar. Afinal, escreva p(x)=P(x)+I(x) onde P(x) tem apenas os
>> termos de grau par e I(x) tem apenas os de grau ímpar.
>>
>> Ora, p(x)^2=(P^2+I^2)+2PI. Note que P^2+I^2 é um polinômio par e 2PI é
>> ímpar.
>>
>> Mas a condição manda que p^2=p(x^2+1), que é uma função par. Então o termo
>> 2PI não pode existir, isto é, P=0 ou I=0. Assim, p(x) é par ou ímpar. E
>> x^2-x+1 não é um nem outro, então não funcionou...
>>
>> Então precisamos ainda mostrar que existe UM tal polinômio!
>>
>> Abraço,
>> Ralph
>>
>> P.S.: Tem certeza que o enunciado é esse mesmo? Não seria, sei lá,
>> p(x^2+1)=(p(x))^2+1 ao invés?
>> 2011/7/1 Johann Dirichlet <peterdirich...@gmail.com>
>>
>>> Em 01/07/11, Johann Dirichlet<peterdirich...@gmail.com> escreveu:
>>> > Em 30/06/11, marcone augusto araújo
>>> > borges<marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>> >>
>>> >> 1) Se p é inteiro primo ímpar,mostre que o numerador da fração
>>> >> 1+1/2+1/3+...1/(p-1) é um múltiplo de p.
>>> >
>>> > 1) Teorema de Wolstenholme, se não me engano...
>>> >
>>> > Bora lá, usar o velho truque das pontas de Gauss:
>>> > 1/k+1/(p-k)=p/(k(p-k));
>>> > assim sendo, temos um monte de frações p/(alguma coisa). Esta coisa
>>> > não será múltipla de p em momento nenhum, logo nada aniquila este
>>> > fator p.
>>> >
>>> >>
>>> >> 2) Mostre que existem infinitos polinômios p(x) com coeficientes reais
>>> >> tais
>>> >> que p(x^2+1) = [p(x)]^2.
>>>
>>> É mais mole do que eu pensei!
>>>
>>> 1 - Se P e Q são soluções da equação acima, P*Q também será. Óbvio!
>>> 2 - Um polinômio possível é x^2-x+1.
>>> Como sei? Simples:
>>>
>>> Se L é um zero de P, então L^2+1 também será.
>>> Se eu conseguir L=L^2+1, terei uma solução pronta!
>>> Basta abrir o polinomio sem medo.
>>>
>>>
>>> P.S.: saber todas as soluções me parece mais desgastante. Aplicando a
>>> transformação T(L)=L^2+1 um numero finito de vezes, todos os
>>> polinômios dos pontos fixos são soluções. A treta é saber se não
>>> escapa nenhum (até porque muitos desses polinomios são fatoráveis, I
>>> think so).
>>>
>>> >>
>>> >> 3) Uma corda AB,de comprimento constante,desliza sobre uma
>>> >> semicircunferência determinada por um diâmetro d.
>>> >> Considere o triângulo cujos vértices são: o ponto médio da corda e as
>>> >> projeções ortogonais dos seus extremos A e B
>>> >> sobre o diâmetro d.Mostre que ,durante o deslizamento da corda,esse
>>> >> triângulo é sempre isósceles e nunca muda de formato(i.é.,os ângulos
>>> >> do
>>> >> triângulo são constantes)
>>> >
>>> > Faz um desenho!
>>> > Diâmetro r;centro O, raio 1; corda AB, tamanho d, médio M; AB
>>> > projetado em r dá XY.
>>> >
>>> > O triangulo AOB é obviamente isósceles.
>>> > Os quadrilateros XOMA e YOMB são inscritíveis de diâmetros OA e OB
>>> > respectivamente (angulos de 90 graus).
>>> >
>>> > Temos OXM=OAM=OBM=OYM, logo XMY é isosceles. E o angulo OBA depende
>>> > unicamente de d.
>>> >
>>> > P.S.: duvido que os triangulos sejam todos congruentes. O angulo XOM
>>> > define o tamanho de XM.
>>> >
>>> >>
>>> >> Meus agradecimentos por qualquer esclarecimento.
>>> >
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