2011/8/4 luiz silva <luizfelipec...@yahoo.com.br> > Demonstrar que dentre as circunferências tangentes a uma curva, em um > determinado ponto, a que será utilizada, por exemplo, para o cálculo da força > centrípeta, possui o raio que é o inverso da curvatura da curva, neste > ponto.(ficou meio confuso, mas ainda acho q vcs vão lembrar disso, pois acho > que é um problema clássico de cálculo II).
Eu imagino que você queira dizer que F = m*v^2/R para a força centrípeta, e que esse R é o raio da tal "circunferência que será utilizada". > Pelo que lembro, foram feitos vários cálculos, para chegar a esta conclusão. É uma forma "segura": braço! > Mas eu lembro de ter feito a seguinte argumentação, que ele não aceitou e, > até hj, ainda não entendi o pq(deve ser algo muito trivial mesmo). > > A curvatura de qualquer curva pode ser calculada através de uma fórmula (não > lembro qual). Talvez mais interessante seja "pouco importa qual". (Na verdade, importa um pouquinho) > Dentre a infinidade de circunferências tangentes à uma curva, devemos usar > para o cálculo da força centripeta aquela que tem a mesma curvatura da curva > (tipo, o que é igual é igual) neste ponto (meio que um princípio de > equivalência : um móvel deverá ter a mesma aceleração tanto deslocando-se na > curva, naquele ponto, quanto em movimento ao longo da circunferência).Ou > seja, tenho que igualar as curvaturas da circunferência e da curva no ponto, > o que dá o resutlado. Aqui você tem um problema de lógica. Veja que você supõe que "temos que usar a que tem a mesma curvatura". Tentando entender a frase seguinte como uma justificativa para esta suposição (que é, na verdade, o que você quer provar), você diz o seguinte: se em vez de o meu móvel estar na curva C, mas numa circunferência C(R), para qual valor de R a força centrípeta é igual? E você mesmo responde: aquela que tiver o raio igual ao inverso da curvatura naquele ponto. Repare que a fórmula curvatura = 1/raio é a parte fácil, o difícil é justificar o seu "princípio de equivalência". Porque seria a circunferência com a mesma curvatura a privilegiada? Poderia haver outras circunferências "naturais" para uma curva. Para tentar responder essa pergunta (sem fazer contas), eu diria o seguinte: a força centrípeta depende de alguma forma da forma da curva que você está seguindo. Se duas curvas tiverem formas "próximas" (já já a gente vê o que isso é), então a força também deve ser próxima. E talvez se for "suficientemente próxima", então é igual (é isso que a gente vai usar para trocar a curva pela circunferência!). Como poderia ser isso? Bom, veja que a força é, por definição, a derivada da quantidade de movimento (tem a massa também). A força centrípeta é a componente desta que é perpendicular à velocidade. Assim, tudo depende *apenas* da primeira e da segunda derivadas da posição (que são a "forma" da curva que o ponto descreve). Agora, veja que o círculo cuja curvatura é a mesma da curva num ponto dado, tem a sua equação que coincide com a da curva justamente até a segunda derivada. Assim, qualquer fórmula que só dependa das derivadas 1a e 2a, será a mesma aplicada para o círculo osculador ou para a curva em questão. Você pode pensar nisto como um argumento de "dimensão": você analisa a dependência de alguma coisa, observa quais são as variáveis importantes, e deduz uma equivalência. Repare que você não pode dizer nada sobre as constantes: elas aparecerão quando você resolver o problema no caso do círculo! /!\ A parte a seguir será escrita muito mais livremente, com menos detalhes (ainda) /!\ > O que imaginei foi que a "família de circunferências" possui todas as > curvaturas possíveis para uma curva (de 0 até infinito). Assim, podemos > imaginar que uma curva pode ser construída através de uma sequência infinita > de circunferências (seria melhor desenhar). Hum, idéia interessante. Repare que essa construção pede que todas as curvas tenham (em cada ponto) uma circunferência osculadora, ou seja, uma aproximação (infinitesimal, local) da sua equação / parametrização / gráfico por um polinômio do segundo grau, que seja muito boa (ou seja, com erro menor do que quadrático para pontos vizinhos da tangência: isso a gente chama de "tangência de segunda ordem"). O que acontece se você tiver dois segmentos de reta, tipo o gráfico do valor absoluto? É claro o que acontece fora do vértice: você tem um círculo de raio infinito, sem problemas. No vértice, você simplesmente não tem como aproximar com erro menor do que quadrático. Não importa o que você faça, você terá um erro. Aliás, esse caso é bem pior porque mostra que você também não pode "aproximar" perto desta "quebra" por UM segmento. Porque a derivada primeira não existe. Assim, você "construir uma curva a partir de pedaços infinitesimais" só é possível se a curva já for suficientemente derivável (aqui eu estou supondo contínua, porque a definição de "curva" mais geral que eu conheço é que é uma aplicação contínua de um intervalo em um outro espaço qualquer). Mas uma vez que você possa escrever esse "limite de curvas", você pode trocar qualquer análise sobre a sua curve por uma análise nas curvas que estão formando o limite - enquanto a ordem de derivação das fórmulas for menor ou igual à ordem de derivação das curvas. > E isto, me levou a outra questão que coloco já com medo de estar pagando > mico, mas vamos lá: o conceito de ponto, e sua existência e "propriedades". > > Ou seja, como pode um mesmo ponto "existir" e ter propriedades diferentes, ao > mesmo tempo ? > > O que pensei é que este ponto possui infinitas "histórias", contadas pelas > infinitas curvas e equações que o contenha e que, dependendo de qual vc > escolha, vc terá uma determinada manifestação desta propriedade. Algo como > uma observação na MQ. Mas ainda ta confuso na minha cabeça. Eu não diria exatamente uma ligação com a MQ, mas isso que você acabou de falar é o conceito fundamental (junto com a observação de que apenas o "grau" de uma fórmula importa) para definir a derivada fora do R^n. Você faz exatamente isso: olha para todas as histórias possíveis (curvas) por um ponto, e vê quais dessas propriedades são de "primeira ordem". E você identifica todas as que tem uma propriedade de primeira ordem igual, e daí elas "representam" o vetor tangente. Porque qualquer fórmula que precise da tangente pode usar qualquer uma dessas histórias, que vai dar o mesmo resultado. Não sei o que você já estudou de álgebra, mas a sua intuição está "no ponto" para você dar uma olhada em geometria diferencial. > Outra coisa : Qdo calculamos a integral, na realidade estamos somando > elementos de área zero e que, no "final infinito", nos dá como resultado algo > diferente de zero. Tem alguma coisa que explique o pq desta soma de zeros ser > <> de zero, pq pelo que lembro o limite da área é zero qdo delta x tende a > zero, não ? Não, a integral soma partes positivas também. Que são cada vez menores, mas em maior quantidade, e isso equilibra. Pense num quadrado de lado um. Ele tem área 1. Se você usar retângulos de base 1/n e altura 1, você tem n retângulos. A área total é sempre a mesma. Nunca você tem retângulos de base 0 (e se você tiver, realmente eles não fazem diferença nenhuma). O que importa são os vários retângulos de área positiva. > Bom, chega de viagem por hj!!! > > Abs > Felipe Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
