2011/12/13 Rodrigo Renji <[email protected]>:
> Olá joão!
>
> Isso não vale em geral em conjuntos infinitos
>
> considere por exemplo
>
> f: N em N com
> f(n) =n+1
>
> a função é injetora, porém não é sobrejetora.
>
> nenhum elemento é enviado no número "0" ( com N= {0,1,2,3,....} )
Só para completar: o exemplo do Renji e a questão do João são
"universais". Ou seja, vale o seguinte:
- se um conjunto é finito, então toda função injetora é bijetora,
- se um conjunto é infinito, então existe uma função injetora que não
é bijetora.
Para ver a segunda parte, basta lembrar que cada conjunto infinito
contém uma cópia de N "dentro dele", e daí você usa uma função que é a
função do Renji na "cópia do N", e identidade no resto (se houver),
que é injetiva e não sobrejetiva.
Em "uma frase só": um conjunto é finito se, e somente se, toda função
injetora é bijetora.
Ah, quase esqueci: um conjunto X é infinito quando ele não é finito
(daaaaaã), ou seja, quando não existir uma bijeção de {0, 1, ..., n}
em X. Se existisse uma sobrejeção de {0, 1, ..., n} em X mas não
bijeção, X é finito também, porque os subconjuntos de um conjunto
finito são finitos, e X seria bijetivo com a um subconjunto de {0, 1,
..., n}. Assim, se X é infinito, podemos construir uma família de
injeções de {0, 1, ..., n} em X que não são sobrejetivas. Chame-as de
f_n. Construa a cópia de N dentro de X por indução: comece com 0 ->
f_0(0). Daí, 1 -> f_1(1) ou f_1(0), pelo menos um deles é diferente de
f_0(0) porque são ambos diferentes entre si. Em seguida, suponha que
você já definiu até n-1 -> "alguma coisa em X", e quer definir a de n.
Podemos supor que f_n(n) é diferente de todas as imagens anteriores
(porque a imagem de {0, 1, ..., n} por f_n tem cardinal n+1, que é
maior que n) e assim n -> f_n(n). Se você preferir, diga que n ->
algum elemento de f_n({0, 1, ...., n}) \ {elementos já utilizados},
que é de cardinal >= (n+1) - n = 1. Isso prova que todo conjunto
infinito contém uma cópia de N. Para os puristas, isso usa o axioma da
escolha... para quem gosta da wikipédia, a "definição" de infinito
como "possui uma função injetiva e não bijetiva" foi dada pelo
Dedekind, e é interessante em si porque é independente de "N ser o
menor conjunto infinito" que existe.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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