Eu não entendi porque ``cancela de três em três´´.
> Date: Wed, 28 Dec 2011 13:32:04 +0100 > Subject: Re: [obm-l] Como calcular(2) > From: bernardo...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > 2011/12/28 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>: > > > > Sendo h(n) = x^n + 1/x^n > > > > Temos h n . h(1) = h(n+1) + h(n-1) -> h(n+1) = -h(n) - h(n-1) > Essa idéia eu chamaria de "Recorrência para as relações de Girard", e > é muito muito legal ! > > > 18 + 9.4 = 54 > O problema da resposta é que 54 = 2*27, e isso deixa uma pulga atrás > da orelha... > > > se x^2 + x + 1 = 0,calcule (x + 1/x)^2 + (x^2 + 1/x^2)^2...+(x^27 + > > 1/x^27)^2 > Expanda todos os quadrados, sem medo. Dá: > soma x^(2n) + 2 + x^(-2n) para n = 1 até 27. Ou seja, isso dá 54 + > duas somas de PG. > > Vamos atacar de números complexos: x^2 + x + 1 = 0 quer dizer que x é > uma raiz cúbica da unidade (e diferente de 1). Assim, x^4 + x^2 + 1 = > 0 também. (porque x^2 também é uma raiz cúbica da unidade, já que 2 e > 3 são primos entre si). Você também pode provar isso assim: > 0 = x^2 + x + 1 => 0 = x^4 + x^2 + 1 + 2(x^3 + x^2 + x) = x^4 + x^2 + > 1 + 2x(x^2 + x + 1) > > Bom, então, en vez de somar a PG, você simplesmente cancela "de 3 em > três" (o que também aparece na solução do João, as somas de 3 h(n) > consecutivos dá 0). Ora, 27 é múltiplo de 3, então não há resto. > > Outra coisa que as duas soluções mostram é um tipo de "período 3", já > que x^2n = x, x^2 ou 1 dependendo do resto que n deixe módulo 3 (e > x^(-2n) é o inverso, quando somar as partes imaginárias desaparecem) > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =========================================================================
