Bom, eu não sabia disso mas agora que você falou...
A recorrência que define os termos de ordem ímpar da seq. de Fibonacci
pode ser obtida assim:
F(2n+1)=F(2n)+F(2n-1)
F(2n)=F(2n-1)+F(2n-2)
F(2n-2)=F(2n-1)-F(2n-3) (tô fazendo um esforço para só deixar os de
ordem ímpar do lado direito)
Então
F(2n+1)=3F(2n-1)-F(2n-3)
Agora deixa eu ver os "alegados" quadrados. Seriam:
F(n) 5F(n)^2-4
1 1=1^2
2 16=4^2
5 121=11^2
13 841=29^2
... ...
Será que a sequencia da direita tem alguma ordem razoável... Digo,
olhando para 1,4,11,29..., qual é a recorrência? Hmmm, parece que cada
termo é 3 vezes o anterior menos ao anteanterior, de novo! Bom, mas
isso tudo é chute, vamos ver se a gente consegue MOSTRAR isso.
TEOREMA: Defina A(0)=1, A(1)=2 e A(n+1)=3A(n)-A(n-1) (n>=2). Defina
também B(0)=1, B(1)=4 e B(n+1)=3B(n)-B(n-1). Afirmo que:
i) 5A(n)^2-4=B(n)^2
ii) você já vai ver que preciso de algo mais aqui.
Prova: i) Para n=0 e n=1 é só verificar direto. Por indução, se a
propriedade vale para n=k e n=k-1, então:
5A(k+1)^2-4 = 5(3A(k)-A(k-1))^2-4 = 45A(k)^2-30A(k)A(k-1)+5A(k-1)^2-4
= (9B(k)^2+36)-30A(k)A(k-1)+B(k-1)^2
Ah, droga, eu não tenho a mínima ideia do que fazer com aquele
A(k)A(k-1)... Se fosse algo conhecido, razoável.... tipo, eu acho que
a coisa toda vai dar (3B(k)-B(k-1))^2, né? Para isso valer, eu
precisava que fosse 36-30A(k)A(k-1)=-6B(k)B(k-1), isto é, eu queria
que fosse 5A(k)A(k-1)=B(k)B(k-1)+6... Como provar isto? Façamos por
indução, ora! Então adicione lá no enunciado o seguinte:
ii) 5A(n)A(n-1)=B(n)B(n-1)+6
Esta propriedade claramente vale para n=1 e n=2. Agora o passo de
indução (note que estou usando (i) com n=k, então a indução é feita
com (i) e (ii) ao mesmo tempo!):
5A(k+1)A(k) = 5(3A(k)-A(k-1))A(k) = 15A(k)^2-5A(k)A(k-1) =
(3B(k)^2+12)-B(k)B(k-1)-6 =
= 3B(k)^2-B(k)(3B(k)-B(k+1))+6 = B(k)B(k+1)+6
Pronto! Este era o pedaço que faltava para terminar a indução em (i). Acabou!
Abraço,
Ralph
P.S.: Agora, para DESCOBRIR que estes números funcionam, dê uma olhada
na teoria de Equação de Pell, que ajuda a resolver coisas do tipo
5n^2-4=p^2.
2012/1/15 marcone augusto araújo borges <[email protected]>:
> Provar q a equação x^2+y^2+z^2=3xyz tem infinitas soluções inteiras.
>
> Essa questão ja foi resolvida na lista
> Um colega tentou uma soluçao diferente:
> Fez y=n e z=1,encontrando x^2 - 3nx +n^2 +1=0
> x= (3n + - raiz(5n^2 - 4))/2
> 5n^2 - 4 deve ser um quadrado perfeito
> Tentei mostrar q existem infinitos valores de n para os quais 5n^2 - 4 é um
> quadrado perfeito e não consegui
> Mas o colega me informou q para n igual aos termos de ordem impar da
> sequencia de fibonacci, a referida expressão
> é um quadrado perfeito(1,2,5,13,34,...)
> Não sabemos provar
> Alguem poderia esclarecer?
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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