Bom, vamos lá
Primeiramente vamos usar 2 notações:
Soma Única - Quando o produto de dois númeroos a e b do conjunto {2, ... 20}
só tem uma possível soma.Ex: 38 tem soma única 21 pois os únicos números a e b
do conjunto que têm o produto 38 é 19 e 2, já 18 tem somas 11 e 9
Produto único - Quando a soma de dois números a e b do conjunt {2, ... 20} só
tem um possível produto.Ex: 4 têm produto único
A única razão para Adriano dizer a Carla que ela não é capaz de saber a soma
desses números é porque nuenhum dentre quaisquer dos possíveis produtos de
tal soma tem soma única.
Mas um produto só tem soma única se tiver 4 divisores (2 se não contarmos 1
e o próprio número). Ou seja , ou os produtos são 2³, 3³, 5³ ou qualquer
produto entre 2 dos elementos do conjunto {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
As somas que podemos descartar são: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14,
15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38}
O 40 podemos eliminar pois tem produto únicoO 39 podemos eliminar pois tem
produto únicoo 37 tem produtos 20.17 19,18, ambos com soma únicaO 35 tem
produtos 20.15, 19.16, 18.17, ambos com soma únicaO 33 tem produtos 20.13,
19.14, 18.15, 17.16, ambos com soma únicaO 31 tem produtos 20.11, 19.12,
18.13, 17.14, 16.15, ambos com soma única
Restaram O 12, 21, 23, 25, 27, 29
Vamos agora para a segunda afirmaçãoA única razão para Carla dizer a Antônio
que ela agora é capaz de descobrir sua soma é porque agora, devido ao passo 1,
seu produto ficou com soma única
Abrindo os
Produtos do 12 que não tem soma única -> (10.2. 5 4), (8.4, 16.2)Escluindo: ()
Produtos do 21 que não tem soma única -> (18.3, 9.6), (16.5, 10.8, 20. 4),
(15.6, 18 5, 10.9), (12.9, 18.6)Excluindo: (18.3) , (16.5), (15.6, 18.5), (12.9)
Produtos do 23 que não tem soma única -> (20.3, 15.4, 12.5, 10.6), (18.5,
16.6, 10.9), (16.7, 14.8), (15.8, 20.6, 12.10), (14.9, 18.7)Excluindo:
(20.3), (18.5), (16.7), (15.8), (14.9, 18.7)
Produtos do 25 que não tem soma única -> (20.5, 10.10), (18.7, 14.9), (16.9,
18.8, 12.12)Excluindo: (20.5), (18.7, 14.9), (16.9)
Produtos do 27 que não tem soma única -> (20.7, 14.10), (15.12, 18.10,
20.9)Excluindo: (20.7), (15.12, 20.9)
Produtos do 29 que não tem soma única -> (20.9, 18.10, 15.12)Excluindo: (20.9,
15.12)
Ou seja, a soma é 27 e o produto é 20.7, os números são (20, 7)
Vamos agora para a terceira afirmaçãoA única razão para Antônio dizer a Carla
que ele agora é capaz de descobrir seu produto é porque agora, sua soma só tem
um produto com soma única
O único par que satisfaz todas as afirmações é o (20, 7)
Portanto os númeors escolhidos foram (20, 7)
UFAA!
Espero que entenda a minha explicação (às vezes nem eu mesmo a entendo)
[]'sJoão
From: [email protected]
To: [email protected]
Subject: [obm-l] Soma e produto
Date: Thu, 19 Jan 2012 00:07:30 +0000
Alguem elege dois numeros,nao necessariamente distintos,no conjunto de numeros
naturais 2,...,20.O valor da soma destes numeros é dado somente a Adriano(A) e
o valor do produto dos numeros é dado unicamente a Karla(K)
Pelo telefone A diz a K:´´nao é possivel que descubras minha soma´´
Uma hora mais tarde,K diz a A:´´Ah! sabendo disso,ja sei quanto vale a sua
soma´´!
Mais tarde A chama outra vez a K e lhe informa:´´Poxa,agora eu tambem conheço o
teu produto´´!
Quais numeros foram eleitos?
