Para o 1 eu fiz assim:
Sendo a+b+c = P(1) (ab + bc + ca) = P(2) (abc) = P(3) Sendo S(k) = a^k + b^k + c^k, temos a^k + b^k + c^k = (a+b+c)( a^(k-1) + b^(k-1) + c^(k-1)) - ( a^(k-1)(b+c) + b^(k-1)(a+c) + c^(k-1)(a+b)) = P(1)S(k-1) - (ab + bc + ca) ( a^(k-2) + b^(k-2) + c^(k-2)) + abc ( a^(k-3) + b^(k-3) + c^(k-3)) = P(1)S(k-1) - P(2)S(k-2) + P(3)S(k-3) Fazendo a = x cis(A) b = y cis(B) e c = z cis(C) Basta provar que S(k) é sempre Real Mas S(0), S(1) = P(1) e S(2) é real, e S(1)² - S(2) = Real + 2(xysen(A+B) zy sen(B+C) + zxsen(C+A))i -> P(2) é real Além disso P(3) = xyzcis(A+B+C) que é real pois sen(A+B+C) = 0 Por indução, como S( k) = P(1)S(k-1) - P(2)S(k-2) + P(3)S(k-3), supondo S(j) real para qualquer j inteiro menor que k, então S(k) = P(1)S(k-1) - P(2)S(k-2) + P(3)S(k-3) = Real (cqd) []'s João ________________________________ De: Heitor Bueno Ponchio Xavier <heitor.iyp...@gmail.com> Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 3 de Março de 2012 17:02 Assunto: [obm-l] Raizes da unidade Não estou conseguindo resolver os seguintes problemas: 1) Sejam x,y,z,A,B,C reais tais que (A+B+C)/π é inteiro. Defina Kr = (x^r) sen (rA) +(y^r) sen (rB) + (z^r) sen (rC) Prove se K1 = K2 = 0 então Kn = 0 para todo n>0 2)Seja (1+x+x²+x³+x^4)^496 = A0 +A1 x+A2x² +...+A1984 x^1984 i)Determine MDC(A3,A8,...,A1983) ii)Prove que 10^340 <A992<10^347
