Marcone,
A primeira questão é um caso particular do teorema que justifica a
existência e equivalência dos sistemas de numeração posicionais. O caso
das potências de 2 forma o sistema binário. Quando são potências de 10
temos o sistema decimal (embora, se usarmos o algarismo 1 para
representar a quantidade unitária e o algarismo 0 para representar a
quantidade nula, a representação do valor da base em qualquer sistema de
numeração posicional será feita pela sequência de dígitos 10). O
enunciado genérico é:
Qualquer número natural /X/ pode ser representado, de forma única, como
um polinômio de potências de um número natural /b/ > 1 tal que:
/X /= /x_n /./b/^/n/ + /x_n /_-1 ./b/^/n/-1 + ... + /x/_1 ./b/ + /x/_0
com todos os coeficientes tais que 0 <= /x_i / < /b/.
Você prova a existência sabendo que, se /q/ e /r/ são, respectivamente,
o quociente e o resto da divisão inteira de X por b, então:
/X/ = /q/./b/ + /r/
Continue dividindo os quocientes obtidos na divisão até que o último
quociente seja menor que b, então substitua de volta cada resultado no
anterior. Para a prova da unicidade assuma a existência de outro
polinômio /P'/ e mostre que /se X/ = /P/ e /X/ = /P'/ então
necessariamente /P/ = /P'/.
Quando /b/ = 2 só são admitidos os valores 0 e 1 para os coeficientes.
Então o polinômio torna-se uma soma de potências de 2.
[ ]'s
*J. R. Smolka*
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Em 06/05/2012 10:38, marcone augusto araújo borges escreveu:/
1) Prove q todo numero natural pode ser representado como uma soma de
diversas potencias de base 2
2) Prove q qualquer numero natural pode ser representado como a soma
de diversos numeros de Fibonacci
diferentes
Como resolver as questões acima?
