Neste caso, acho que é verdade sim. Não sei se dá para formalizar como a
seguir, mas tentemos...
Suponha por contradição que todos os ângulos do seu polígono são menores
que 180 graus, mas ele não é convexo. Você pode perfeitamente supor que não
há ângulos de 180 graus (se houver, elimine os vértices onde isto acontece,
e junte os lados correspondentes num só).
Então você pode achar um segmento de reta com vértices dentro do polígono
mas que não está completamente contido no polígono. Este segmento pode ser
subdividido em pedaços pelos lados do polígono -- pelo menos um dos pedaços
estará completamente do lado de fora (exceto pelos seus vértices, que
estarão nos lados do polígono).
Então seja AB um tal segmento (todo do lado de fora, exceto pelos vértices
A e B sobre os lados do seu polígono original). Há dois polígonos formados
pelos lados do polígono original (interrompidos pelos pontos A e B), mais
este segmento, sendo que um deles terá como ângulos internos os
REPLEMENTARES do polígono original (exceto em A e B, cujos ângulos me são
completamente desconhecidos). Seja P este último polígono, digamos que ele
tenha N lados.
Bom, este polígono será simples (os lados do polígono original não se
intersectavam, e este segmento AB não intersecta o polígono original exceto
nos vértices A e B). Seus ângulos são todos maiores que 180 graus (bom, N-2
de seus ângulos, pois não sabemos nada sobre os ângulos em A e B), então a
soma dos seus ângulos será maior que 180(N-2). Mas a soma dos ângulos
internos de um polígono simples é 180(N-2), absurdo!
Reconheço que esta ideia aí em cima não está muito formal ainda -- teríamos
que estabelecer melhor:
i) A existência do segmento AB (tenho certeza que é possível, mas ele é
chato de definir formalmente, até porque o segmento original não contido no
polígono original poderia ter pedaços inteiros de alguns lados);
ii) A existência do tal polígono P (eu vejo perfeitamente que um dos dois
polígonos criados por A e B tem como ângulos os replementares do original,
mas isto deveria ser formalizado usando alguma espécie de orientação do
polígono original).
Abraço,
Ralph
2012/5/21 Paulo Argolo <argolopa...@hotmail.com>
>
> Caro Ralph ( e demais colegas )
>
> Gostaria de me referir somente aos polígonos planos simples.
> Nesse caso, o teorema é válido?
> Abraços.
> Paulo
> ___________________________________________________________
>
> Date: Sun, 20 May 2012 21:59:30 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Polígono convexo e ângulos internos
> From: ralp...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Isto eh falso. Pegue, por exemplo, um icosagono estrelado (ligando os
> pontos "de 3 em 3"). Abraco, Ralph
>
> 2012/5/20 Paulo Argolo <pauloarg...@bol.com.br>
>
> Caros Colegas,
>
>
>
> Aproveitando a resposta dada sobre a questão "Paralelogramo é convexo",
> formulo nova questão:
>
>
>
> — Mostrar que um polígono é convexo se, e somente se, qualquer de seus
> ângulos internos mede menos de 180 graus.
>
>
>
> Defino: Um polígono ( = região poligonal) é convexo se, e somente se,
> qualquer segmento de reta com extremidades pertencentes ao polígono está
> contido no polígono.
>
>
>
> Abraços do Paulo.
>
>
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> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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