Sauda,c~oes,
Retomo uma (muito) velha mensagem.
Continuo ao final das mensagens (nada como um
bom sistema de arquivamento).
O Claudio Buffara ainda acessa a lista?
-----Mensagem Original-----
De: "Claudio Buffara" <claudio.buff...@terra.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: sábado, 6 de março de 2004 01:42
Assunto: Re: [obm-l] conjectura sobre colinearidade
> > Sauda,c~oes,
> >
> > Seja dado o triangulo AP_0Q_0 .
> >
> > Em AP_0 e AQ_0 marcamos P_0Q_i,
> > e Q_0P_i tais que P_0Q_i = Q_0P_i = m_i,
> > i = 1,2,.... e m_i <> m_{i+1} (todos diferentes
> > entre si). Unimos P_0P_i e Q_0Q_i,
> > obtendo a interseção R_i.
> >
> > Conjectura: os R_i são colineares.
> >
> > Como provar? Qual a teoria que suporta
> > tal resultado? Teorema de Desargue?
> >
> > Se a conjectura vira um teorema, temos
> > uma solução para os problemas
> > A,a+b,a-c e A,a-b,a-c.
Typo: A,a+b,a+c e A,a-b,a-c.
> >
> > []'s
> > Luís
> >
> >
> Oi, Luis:
>
> A conjectura eh verdadeira. Veja a seguir...
>
> Considere o triangulo APQ e vetores unitarios u e v
> nas direcoes PA e QA, respectivamente. Se |PA| = b e
> |QA| = c, entao teremos que o vetor PQ serah bu - cv.
>
> Sejam Q' sobre AP e P' sobre AQ tais que |PQ'| = |QP'| = m.
> Entao, PQ' = mu e QP' = mv.
>
> PP' = bu - cv + mv = bu + (m-c)v
> QQ' = mu - (bu - cv) = (m-b)u + cv
>
> Interseccao de PP' e QQ' ==> existem x e y reais tais que:
> R = PQ + x*QQ' = y*PP' ==>
> bu - cv + x*((m-b)u + cv) = y*(bu + (m-c)v) ==>
> (b + (m-b)x - by)u + (-c + cx - (m-c)y)v = 0
>
> Como o triangulo APQ eh nao degenerado, u e v sao L.I.
> Assim:
> (m-b)x - by = -b
> cx - (m-c)y = c
>
> Resolvendo este sistema, obtemos:
> x = b/(b+c-m) e y = c/(b+c-m)
>
> O ponto de interseccao serah:
> R = y*PP' = c(bu + (m-c)v)/(b+c-m)
>
> dR/dm = bc(u + v)/(b+c-m) = multiplo de um
> vetor constante (u + v) ==> ao se variar m,
> R percorre uma linha reta ==> CQD
>
> Um abraco,
> Claudio.
Tudo muito bem. Hoje sei (ver a mensagem de 08/03/04)
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200403/msg00294.html
que a conjectura é verdadeira usando feixes anarmônicos,
razões anarmônicas (cross-ratios), raios homólogos
e feixes perspectivos.
Tudo isso é geometria projetiva com uma abordagem cearense.
A reta suporte dos pontos R (interseção de raios homólogos)
é o eixo da perspectiva.
Ou da homologia. E o vértice A, o centro da homologia.
Acompanhei a demonstração do Buffara e acho que tá
tudo ok. Ou quase.
Empaquei aqui.
> O ponto de interseccao serah:
> R = y*PP' = c(bu + (m-c)v)/(b+c-m)
Ok. Então R=f(m), como esperado.
> dR/dm = bc(u + v)/(b+c-m) = multiplo de um
> vetor constante (u + v) ==> ao se variar m,
> R percorre uma linha reta ==> CQD
Não seria dR/dm = bc(u + v)/(b+c-m)^2 ??
E como R percorre uma linha reta?
dR/dm = k(u+v) múltiplo de um vetor constante
(u+v). Onde k=bc/(b+c-m)^2.
Para R percorrer uma reta, k não teria que ser
independente de m também???
Gostaria de comentários, correção, confirmação
sobre o final da mensagem do Buffara.
Obrigado.
Luís
