Este problema não é um caso específico do problema que ficou 150 anos para ser 
resolvido (esqueci o nome dele, mas acho que enviaram para cá) ?
 
Mas se não me engano, o enunciado geral era 
 
Mostrar que a única solução inteira para equação x^p - y^q = 1 é  (x=3, p=2, 
y=2, q=3).
 
Abs
Felipe
 
 


________________________________
De: Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
Enviadas: Quarta-feira, 29 de Agosto de 2012 10:33
Assunto: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única


Nao sei porque esta mensagem nao apareceu na lista.... Estou tentando de novo, 
para ver se ganho os R$50.


---------- Forwarded message ----------
From: Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>
Date: 2012/8/28
Subject: Re: [obm-l] Solução única
To: obm-l@mat.puc-rio.br



Hmmm.... Veja se voce conhece este fato:

FATO: f(x)=(1+r/x)^x eh uma funcao crescente (para x>=1) que tende para e^r 
quando x->+Inf. Ou seja, (1+r/x)^x < e^r sempre que x>=1.

Agora sim!

i) Nao ha solucao com b>a>=3. De fato, escrevendo b=a+r, vem:

a^b-b^a = a^a.(a^r-(1+r/a)^a) > a^a.(a^r-e^r) > a^a.(a-e) > 3^3.(0.2) > 1

onde usei que r>=1 para sumir com r (note que 
(a^r-e^r)=(a-e)(a^(r-1)+a^(r-2)+...+e^(r-1)) e este termo imenso eh >=1), e que 
a>=3 e que e=2.781828... no finzinho. 

ii) Nao ha solucao com 3<=b<a. De fato, escrevendo a=b+r, vem:

a^b-b^a = b^b.((1+r/b)^b-b^r) < b^b.(e^r-b^r) < 0 pois b>e e r>=1.

Como obviamente tambem nao ha solucao com a=b, as unicas possiveis solucoes tem 
pelo menos um dos numeros menores do que 3. Agora eh soh analisar os casos a=1, 
a=2, b=1 e b=2:

-- Se a=1 entao 1-b=1, nao presta.
-- Se a=2, entao 2^b-b^2=1, isto eh, 2^b=b^2+1. Entao b eh impar, digamos, 
b=2k+1, entao 2^b=4k^2+4k+2 nao eh divisivel por 4, entao b=1. De fato 
(a,b)=(2,1) serve.
-- Se b=1, entao a-1=1, isto eh, a=2, o que jah vimos acima.
-- Se b=2, entao a^2-2^a=1, isto eh, 2^a=a^2-1=(a+1)(a-1). Entao ambos a-1 e 
a+1 tem que ser potencias de 2 (cuja diferenca eh 2!), ou seja, a-1=2 e a+1=4. 
Assim, a=3.

Cade meus 50 reais? ;)

Abraco,
          Ralph


2012/8/28 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>

Meu amigo me passou um desafio anteontem, falou que se eu resolvesse até ontem 
a meia-noite, ele me dava 50 reais.
>Acontece que por mais insistente que eu tenha sido não saiu muita coisa :)
>
>A aposta já acabou e ele também não sabe a resolução, e eu quero muito saber 
>como se resolve isso!
>Se alguém puder me dar uma ajuda eu agradeço
> 
>Prove que a^b - b^a = 1  admite única e exclusivamente a solução (3, 2), para 
>a e b naturais maiores de 0.
> 
> 
>[]'s
>João
> 
>

Responder a