Oi ennius,
A quantidade de digitos dependerá do número de fatores 2 e 5 que aparece na 
decomposição em fatores primos. Como num fatorial temos uma certa abundancia no 
número de fatores 2, o que determinará será o número de fatores 5.

1 - parte inteira de [7000/5] = 1400 (quantidade de numeros divisiveis por 5)
2 - parte inteira de [7000/25] =  280 (Contando o segundo fator dos numeros 
divisiveis por 25  --- * o primeiro ja foi contado em 1) 

3 - parte inteira de [7000/125] =  56 (Contando o terceiro fator dos numeros 
divisiveis por 125  --- * o primeiro ja foi contado em 1 e o segundo em 2) 
4 - parte inteira de [7000/625] =  11  
.........................................................................................
5 - parte inteira de [7000/3125] =  2 
...................................................................


S = 1400 + 280 + 56 + 11 + 2 = 1749

O caso geral voce deve fazer:

S = Somatorio(Parte inteira[ N / 5^i ] )   para i de 1 até infinito. 

O livro "Teoria Elementar dos Numeros" do Edmund Landau acho que ajudará você a 
entender melhor essa parte (Página 23 teorema 27 - e exemplo resolvido da 
pagina 25). Segue o link:
http://books.google.com.br/books?id=Q0wBV6wln3wC&pg=PA11&dq=teoria+elementar+dos+numeros+edmund+landau&source=gbs_toc_r&cad=4#v=onepage&q&f=false 


abs,
Diego Andrés


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 De: ennius <enn...@bol.com.br>
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br> 
Enviadas: Quinta-feira, 13 de Setembro de 2012 10:27
Assunto: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?
 
Prezados Colegas,

Qual o melhor método para calcular quantos dígitos tem o fatorial de 7000 (ou 
de qualquer outro número natural grande)?

Desde já, muito obrigado.

Ennius Lima
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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