a) Você pode simplesmente fazer a divisão dos polinômios e deduzir o que deve ocorrer para que o resto nunca tenha um grau menor que m. b) Você pode usar "d divide". a^m -1 | a^n - 1 a^m -1 | a ^(n-m) . (a^m -1) Aí você consegue eliminar o a^n e fica com outro expoente. Repita sucessivamente e chegue a conclusão... c) a^m -1 | a^n - 1 <==> m.d.c.(a^m-1;a^n - 1) = a^m - 1 para a> b m.d.c (a,b) = m.d.c(b,r) onde a = qb+r e 0=<r<b. Você pode usar para polinõmios e considerar a > b como grau de P1(x) > grau de P2(x). Tente desenvolver.
Bons estudos. Em 11/12/12, Tiago<hit0...@gmail.com> escreveu: > Em geral, quando a gente quer mostrar que um número divide outro, uma boa > dica é: divida um pelo outro e mostre que o resto é 0. Ou seja, suponha q e > r, com r menor que m tais que n = qm + r e use que a^m - 1 divide a^n - 1 > para concluir que r = 0. > > > 2012/12/11 Paulo Argolo <pauloarg...@outlook.com> > >> ________________________________ >> > Date: Tue, 11 Dec 2012 16:40:31 +0100 >> > Subject: Re: [obm-l] a^m - 1 divide a^n -1 <=> m divide n >> > From: hit0...@gmail.com >> > To: obm-l@mat.puc-rio.br >> > >> > Use congruências. Tem algum lado que você consegue fazer? >> > >> > >> > 2012/12/11 Paulo Argolo >> > <pauloarg...@outlook.com<mailto:pauloarg...@outlook.com>> >> > Caros Colegas, >> > >> > Como podemos provar que a^m - 1 divide a^n - 1 se, e somente se, m >> divide n? >> > (a, m e n são inteiros positivos.) >> > >> > Abraços do Paulo. >> > >> > ____________________________________________ >> > ========================================================================= >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> > ========================================================================= >> > >> > >> > >> > -- >> > Tiago J. Fonseca >> > http://legauss.blogspot.com >> _______________________________________________ >> >> Olá, Tiago ( e demais colegas) >> >> Minha dificuldade é provar que a condição é necessária, ou seja: se a^m - >> 1 divide a^n - 1, então m divide n. >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > > > -- > Tiago J. Fonseca > http://legauss.blogspot.com > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
