Este assunto foi discutido aqui há alguns meses. O Bernardo, que resolve tudo, até deu uma solução. Depois, eu achei uma outra.
Mostre que uma função inteira é uniformemente contínua se, e somente se, for um mapeamento afim. Se f for um mapeamento afim, é imediato que f é até mesmo Lipschitz. Para a recíproca, basta demonstrar que f' é constante. E como derivadas de funções inteiras são inteiras, basta, pelo teorema de Liouville, demonstrar que f' é limitada. Tendo isto em mente, tomemos d > 0 tal que |f(u) - f(v)| < = 1 sempre que |u - v| < d. Fixemos arbitrariamente z em C e, para w em C, definamos g por g(w) = f(w) - f(z). Temos então que g é inteira, limitada por 1 no disco fechado de centro em z e raio d e que g'(z) = f'(z). Pela estimativa de Cauchy, segue-se que |f'(z)| = |g'(z)| <= 1/d. Como z é arbitrário e d é independente de z, concluímos que f' é limitada em C, ficando assim concluída a prova. Eu creio que este não é um resultado muito conhecido Abraços Artur Costa Steiner ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
