O colega abaixo cometeu um erro de digitação, sobram 6(n-1)/7 medalhas ao fim do primeiro dia.
Se alguém tiver uma resolução, favor postar ou indicar link. Só consegui fazer de trás para frente. Em algum momento as medalhas vão zerar. Como no início do dia teremos 6/7 do valor intermediário do dia anterior (= ao valor antes de tirarmos 1/7) Como (6,7) = 1 ==> vai zerar para um múltiplo de 6. passo 0 ==> x0 = 6k passo 1 ==> x1 = 13k-1 | 6k -1 | 7k para irmos para o passo 2 temos que 6 | 13 k-1 ==>13k-1 ≡ 0 mod6 ==> k ≡ 1 mod6 ==> ==> k = 1 + 6λ. Voltando ao passo 0 passo 0 ==> x0 = 36λ +6 passo 1 ==> x1 = 78λ+12 ! 36λ + 5 ! 7(6λ+1) passo 2 ==> x2 = 49λ + +18 | 36λ + 4 ! 7(13λ +2) Novamente como 6 | 18, 49λ ≡ 0 mod6 ==> λ ≡ 0 mod6 ==> λ = 6ζ. retornndo e avançando até o passo 3 teremos: passo 3 ==> x3 = 559ζ + 24 ! 216ζ + 3 ! 7 (49ζ + 3) Já se pode notar que o termo independente é : 7 i + 6 - i = 6 (i + 1) (*), onde i é o passo ==> 6 | 6 (i -1), ou seja 6 divide o termo independente. O termo na variável é formado de uma parcela cujo coeficiente é múltiplo de 6 e por outra cujo coeficiente é primo com 6, logo para cada passo aumentamos o número de passos exponecialmente com base 6, logo nunca atingiremos o início. A menos que façamos k=0 passo 0 ==> xo = 6 passo 1 ==> x1= 12 ! 5 ! 7 passo 2 ==> x2 = 18 ! 4 ! 14 passo 3 ==> x3 = 24 ! 3 ! 21 passo 4 ==> x4 = 30 ! 2 ! 28 passo 5 ==> x5 = 36 ! 1 ! 35. Ou simplesmente usando (*). Como são seis passos e inicamos com 0, i =5 ==> x5 = 6(5+1) = 36. Resposta 36 medalhas. Não é uma solução elegante, mas.... Em 13/12/12, Rogério Possi Júnior<[email protected]> escreveu: > > Caros colegas, > > Eis o problema que foi da IMO-67 conforme falei: > > 1967/6. > In a sports contest, there were m medals awarded on n successive days (n >>1). On the first day, one medal and 1/7 of the remaining m - 1 medals were > awarded. On the second day, two medals and 1/7 of the now remaining medals > were awarded; and so on. On the n-th and last day, the remaining n medals > were awarded. How many days did the contest last, and how many > medals were awarded altogether? > > Sds, > > Rogério > > > > > > Subject: Re: [obm-l] POTI > From: [email protected] > Date: Thu, 13 Dec 2012 05:16:42 -0200 > To: [email protected] > > > Seja n o número de medalhas. > > > Ao final do 1o dia, restaram n - (1- (n - 1)/7) = 8(n - 1)/7 medalhas > > > Ao final do 2o dia, restaram > > > > > Artur Costa Steiner > > Em 12/12/2012, às 17:05, Athos Couto <[email protected]> escreveu: > > > > > > > Pessoal, vi um problema interessante na lista do POTI. > "A cidade de "Herpelândia" está promovendo uma olimpíada de matemática, que > consiste na proposta de um problema por dia. As melhores soluções são > premiadas com medalhas.Sabe-se que no primeiro dia foram distribuídas 1 > medalha mais 1/7 das medalhas restantes, no segundo dia 2 medalhas mais 1/7 > das medalhas agora restantes e assim sucessivamente. > Quantos dias durou a Olimpíada? Quantas medalhas foram distribuídas?" > Alguma ideia? Pelo caminho que eu estava fazendo achei uma soma em função de > n e precisava avaliar se a soma era divisível por 6^n... Não sei fazer isso > :/ > > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
