Estava mal. Claro que tinha de resolver na ordem certo.
Fiz para 1/8
Dia ! N medalhas ! Premia ! resta ! Premia (1/8)
1 ! n ! 1 ! n-1 !
(n-1)/8
Temos que : n -1 ≡ 0 mod8 ==> n ≡ 1 mod8 ==> n = 1 +8λ
1 ! 1 + 8λ ! 1 ! 8λ ! λ
2 ! 7λ ! 2 ! 7λ - 2 !
(7λ - 2 )/8
temos que: 7λ - 2 ≡ 0 mod8 ==> 7λ ≡ 2 mod8 ==> λ ≡ 6 mod8 ==> λ = 6 + 8k
Pela mesma razão da solução para 1/7, k = 0.
Temos então N medalhas: 1+ 8.6 = 49, N dias: 7, fração 1/8 ( 7 = 8 -
1 e 49 = 7^2)
No caso anterior N medalhas: 36, Ndias 6 e fração 1/7 ( 6 = 7 - 1 e 36 = 6^2)
Para fração 1/(n + 1), N medalhas ; n^2 e N dias: n.
Dia ! N medalhas ! Premia ! resta !
Raízes ! Premia (1/(n + 1))
1 ! n^2 ! 1 ! (n+1) (n-1)
! -1 e 1 ! n-1
2 ! n(n-1) ! 2 ! (n+1) (n-2)
! -1 e 2 ! n-2
3 ! n(n-2) ! 3 ! (n+1) (n-3)
! -1 e 3 ! n-3
, . . .
. .
, . . .
. .
, . . .
. .
i ! n(n-i) ! i ! (n+1) (n-i)
! -1 e i ! n-i
Observe que fixado um valor para n na linha desse valor, o que resta
será zero e acabam-se as medalhas.
E algo que não percebi, minha filha me chamou a atenção que o total de
medalhas distribuído por dia é constante.
Na verdade n^2 é a soma dos termos de duas P.A., de razão 1, sendo a
segunda com um termo a menos.
S = (1 + 2 + 3 + ... n) + (1 + 2 + 3 + 4 + n-1) = (n + 1)*n/2
+(n-1+1)*(n-1)/2 = n^2.
Depois é só escrever a segunda P.A. ao contrário (sou bom nisso)
1 ! n-1
2 ! n-2
3 ! n-3
. .
. .
. .
n ! 0
Sempre distribuíremos n medalhas por dia.
Muito interessante o problema. Até pelo fato da solução ser única.
Em 13/12/12,
[email protected]<[email protected]>
escreveu:
>
>
> A versao que tenho mais recente, do livro do malbatahan é de 1961
> !!!
>
> On Wed, 12 Dec 2012 22:22:46 -0200, Rogério Possi Júnior wrote:
>
>
>> Esse problema foi da IMO ... ano de 76 ou 77 ... por aí ...
>>
>>
> Sds,
>>
>> Rogério
>>
>> -------------------------
>> From:
> [email protected]
>> To: [email protected]
>> Subject: [obm-l]
> POTI
>> Date: Wed, 12 Dec 2012 19:05:33 +0000
>>
>> Pessoal, vi um
> problema interessante na lista do POTI.
>> "A cidade de "Herpelândia"
> está promovendo uma olimpíada de matemática, que consiste na proposta de
> um problema por dia. As melhores soluções são premiadas com medalhas.
> Sabe-se que no primeiro dia foram distribuídas 1 medalha mais 1/7 das
> medalhas restantes, no segundo dia 2 medalhas mais 1/7 das medalhas
> agora restantes e assim sucessivamente.
>>
>> Quantos dias durou a
> Olimpíada? Quantas medalhas foram distribuídas?"
>> Alguma ideia? Pelo
> caminho que eu estava fazendo achei uma soma em função de n e precisava
> avaliar se a soma era divisível por 6^n... Não sei fazer isso :/
>
>
=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================
