Corrigindo!! Pi/2 > 1!! O único ponto fixo de f(x) = cosx está em (0, 1)!!
Artur Costa Steiner Em 16/12/2012, às 08:30, Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com> escreveu: > Timeout ! > > 2012/12/9 Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>: >> Problemas interesantes. >> >> Mostre que nì°¾o existem fun챌천es diferenciì°¼veis de R em R tais que, >> para todo real x, tenhamos >> >> a) f(f(x)) = e^(-x) > > Derive (já que as funções são diferenciáveis) e veja que f'(f(x)) * > f'(x) = - e^(-x) != 0. Portanto, f'(x) != 0, e pelo teorema do valor > intermediário para derivadas (Darboux), o sinal de f' é constante. Mas > assim, f é ou estritamente crescente, ou estritamente decrescente, > logo... f(f(x)) é sempre crescente. Mas e^(-x) não é crescente, > absurdo. > >> b) f(fx)) = 1 - x^3 > > Derive, etc, etc, temos que f'(0) = 0 ou f'(f(0)) = 0, mas também que > f'(f(x)) * f'(x) != 0 se x != 0, logo a única possibilidade é f'(0) = > 0. Assim, o sinal de f' é constante nos reais positivos e negativos. > Como a gente já viu no caso anterior, não pode ser monótona. Assim, > temos ou f crescente e depois decrescente, ou o contrário. Mas isso > quer dizer que 0 é um extremo local, e f é limitada superiormente ou > inferiormente (respectivamente). Logo, f(f(x)) não pode ser > sobrejetiva, como é o caso de 1 - x^3. > >> c) f(fx)) = cos(x) > > Bom, essa é difÃcil, se continuarmos com apenas as mesmas idéias, mas > ainda dá. Derive, e, como antes, f será monótona em cada um dos > intervalos I_k = [k pi, (k+1) pi). Agora, separe os casos possÃveis > para f(0) e o crescimento de f entre 0 e pi. Vamos obter uma > contradição achando uns pontos tais que | f(f(x)) | > 1, a partir de > f(f(0)) = 1 e as condições de monotonicidade. > > Note, primeiro, que f(0) não pode ser de valor absoluto maior do que > 1. Como f(f(x)) = cos(x), isso quer dizer que f(f(pi/2)) = 0, logo, > aplicando f dos dois lados, f(0) = f(f( f(pi/2) )) = cos(f(pi/2)). > Note também que f(0) != 0, já que senão terÃamos f(f(0)) = 0, e não 1 > = cos(0). > > Suponha, para começar, que f é crescente entre 0 e pi. Temos 2 casos: > > a) 0 < f(0) <= 1. Numa vizinhança "positiva" do 0, temos que f é > crescente, e como f(0) < 1 < pi, f(f(x)) também será crescente. > Absurdo. > > b) -1 <= f(0) < 0. Note que f(f(x)) é decrescente entre 0 e pi, logo > f(pi) <= 0, caso contrário terÃamos f o f crescente no "final" do > intervalo [0, pi). Seja a = f(0). Temos 1 = f(f(0)) = f(a). Mas f(1) < > 0 pelo que acabamos de ver, e por outro lado -pi/2 < -1 < a < 0, logo > 0 < cos(-1) < f(f(a)) < 1 já que f o f = cos é crescente entre -pi e > 0. Absurdo: f(1) < 0 < f(1) = f(f(a)). > > O raciocÃnio é similar para f decrescente entre 0 e pi: > > a) 0 < f(0) <= 1. Temos f(0) entre 0 e 1, logo como f é decrescente > f(1) <= f(f(0)) = 1 < f(0) <= 1, absurdo. > > b) -1 <= f(0) < 0. Para que f o f seja decrescente em [0, pi), devemos > ter f crescente entre f(pi) e f(0), e portanto até o zero. Mas f(f(0)) > = 1, e f(0) < 1, logo f não pode ser contÃnua em 0. Absurdo outra vez. > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
