Legal Bernardo! Vc está dizendo que se f_n é uma sequência de holomorfas, uniformemente limitadas por um M em um compacto K, que convirja neste conjunto para uma função f, então a convergência é uniforme? É essa a idéia?
De fato, muito legal esta abordagem complexa. Não tinha me ocorrido. Eu fiz de uma forma mais elementar. Como o intervalo é compacto, |x| é limitado por um M. Para n > 1/M, |x/n| < 1 e, portanto, 1 + x/n> 0. Logo, as f_n tornam-se monotonicament crescentes no intervalo compacto. Como convergem para a exponencial, que é contínua, o teorema de Polya implica que a convergência seja uniforme. Mas eu gostei muito dessa abordagem complexa, quero entender mais. Abraços. Artur Costa Steiner Em 08/01/2013, às 19:06, Bernardo Freitas Paulo da Costa <[email protected]> escreveu: > 2013/1/8 Artur Costa Steiner <[email protected]>: >> Esse aqui me parece interessante >> >> Seja (f_n) a sequência de funções dadas e R por f_n(x) = (1 + x/n)^n = 1, 2, >> 3 ...... >> >> Conforme se sabe, esta sequência converge para f(x) = e^x. Mostre que, em >> todo intervalo compacto, a convergência é uniforme. > Como se diz, a demonstração mais rápida para um resultado real usa um > caminho complexo... > > 1) note que todas as funções são holomorfas > 2) princípio do máximo nos compactos de C: max | f_n(x) - f(x) | é > atingido no bordo, pois é uma função holomorfa. Assim, todo mundo > "dentro" converge pelo menos tão rápido quanto o "mais lento do bordo" > (provavelmente deve inclusive para fazer melhor, usando umas > desigualdades inspiradas de séries de potências, eu penso em Harnack, > mas isso não importa) > 3) Agora, basta mostrar que, para um compacto K fixo, de bordo B, esse > máximo tende a zero conforme n -> infinito. Na verdade, por conta das > fórmulas de Cauchy, basta mostrar que é limitado em todo B, e daí > segue que "em cada B' dentro de B" vai tender a zero. > 4) Ou seja, a gente quer mostrar que f_n é limitada, independente de > n, num compacto dado. > (Até aqui, isso é totalmente geral, e "rápido". Aliás, a parte de ser > "limitada" aparece em vários resultados de convergência de funções > (sub)harmônicas ) > 5) |(1 + x/n)^n| <= (1 + |x|/n)^n <= exp(|x|) > > Se essa última desigualdade é famosa, mas um pouco difícil de provar, > qualquer outra no mesmo espírito serve. O importante é que seja > independente de n. Para isso, a gente pode inclusive usar uma > informação do enunciado: (1 + M/n)^n -> exp(M), e portanto para n > suficientemente grande, isso é menor do que exp(M) + 1, por exemplo. > > Uma coisa muito legal dessa demonstração é que ela "troca" a > uniformidade em x pela uniformidade em n ;-) > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
