Esse assunto não é muito popular aqui na lista, mas não chega a ser off topic,
certo?
Queremos provar o seguinte: se (X, d) é um espaço métrico tal que toda função
contínua de X em R (R com a métrica euclidiana usual) for limitada, então X é
compacto.
Isso é bem fácil de provar nos espaços, como os euclidianos, que satisfaçam à
condição de Heine Borel, segundo a qual todo conjunto fechado e limitado é
compacto. Mas isso não é regra geral. O que é geral é que um espaço métrico é
compacto se, e somente, for completo e totalmente limitado. Com base nisso, a
minha abordagem, ainda incompleta, é:
Se X não for compacto, então X não é completo ou não é totalmente limitado.
Vamos ver os dois casos, raciocinando por contraposição.
Se X não for completo, existe então em X uma sequência de Cauchy (u_n) que não
converge. Definamos a função g de X em R dada por g(x) = lim d(x, u_n). Esta
definição faz sentido, pois como (u_n) é Cauchy, então (d(x, u_n)) é Cauchy em
R, logo convergente. E esta função g é contínua. De fato, se x1 e x2 estão em
X, então, para todo n,
d(x1, u_n) <= d(x1, x2) + d(x2, u_n)
d(x2, u_n) <= d(x2, x1) + d(x1, u_n)
Temos então que |d(x1, u_n) - d(x2, u_n)| <= d(x1, x2) . Tomando o limite
quando n --> oo, obtemos |g(x1) - g(x2)| <= d(x1, x2), o que mostra que g é até
mesmo Lipschitz.
Para todo x, g(x) > 0. Se para algum x tivéssemos g(x) = 0, (u_n),
contrariamente à hipótese, convergiria para x.
Temos também que lim m--> g(u_m) = 0. Para vermos isto, observemos que, como
(u_n) é Cauchy, para todo eps > 0, existe k tal que d(u_m, u_n) < eps para
todos m, n > k. Mantendo m fixo, obtemos lim n --> oo d(u_m, u_n) = g(u_m) <
eps para todo m > k. Logo, lim g(u_m) = 0.
Assim, conseguimos fazer g(x) > 0 tão perto de 0 quanto desejado. Desta forma,
definindo-se f = 1/g, obtemos uma função contínua (pois g é contínua) e
ilimitada.
Se X não for totalmente limitado, então existe r > 0 tal que não é possível
cobrir X com uma coleção finita de bolas abertas de raio r. Isto implica, por
meio de um raciocínio indutivo, wue existe em X uma sequência infinita (x_n)
tal que a distância entre quaisquer 2 elementos distintos de K = {x_1, x_2,
x_3, ....} é >= r. K não tem pontos de acumulação, logo é fechado, além de ser
infinito. Se definirmos f de K em R por f(x_n) = n, obtemos uma função
ilimitada e trivialmente contínua, pois K não possui pontos de acumulação. É
possível chamar o Teorema da Extensão de Tietze para estendermos f para X
obtendo uma função contínua e ilimitada? Eu estou empacado aqui. Não sei se
estou no caminho certo.
Obrigado, desculpem por esse este assunto um tanto chato.
Abraços
Artur Costa Steiner
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