Há um teorema que diz que, se f_n é uma sequência de funções reais contínuas que converge em um intervalo de R para uma função f, então o conjunto dos elementos em que f é descontínua é de 1a categoria na classificação de Baire, isto é, está contido numa união enumerável de conjuntos fechados com interior vazio. Isto implica que o conjunto das descontinuidades de f tenha interior vazio.
Mas sua função é descontínua em todo o [0, 1], que não tem interior vazio. Logo, sua função não pode ser o limite de uma sequência de funções contínuas. Artur Em 07/02/2013 21:54, "Sandoel Vieira" <[email protected]> escreveu: > Na hora de escrever torna-se um pouco complicado. Tentei mostrar supondo > que existe e depois tentando, por exemplo, limitar a imagem de f > numa vizinhança de um racional, por um número menor que 1, mas não consegui > argumentar direito. > > *Att.* > *Sandoel Vieira* > *(86) 8117-6966* > > > > Date: Thu, 7 Feb 2013 12:16:28 -0500 > > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções > > From: [email protected] > > To: [email protected] > > > > 2013/2/7 Sandoel Vieira <[email protected]>: > > > Mostre que não existe uma sequências de funções contínuas > f_n:[0,1]-->R, > > > convergindo simplesmente para a função f:[0,1]-->R tal que f(x)=0 para > x > > > racional e f(x)=1 quando x é irracional. > > Pense no que acontece para que f_n(1/2) -> 0, e nos pontos da > > vizinhança de 1/2 para este n fixo. Agora, pense nos outros pontos > > pontos racionais perto de 1/2, e repita o argumento. Agora, lembre que > > os racionais são densos, e que você tem um monte de vizinhanças em > > todos os pontos racionais. > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > ========================================================================= >
