Esse eu lembro que ele tá no livro do Elon! Se U_1 é o conjunto dos pontos de condensação unilaterais à esquerda, digamos que para cada x em U_1 temos que o intervalo J_x = ]x, x + eps_x[ tem interseção enumerável com A. Para cada x em U_1, a interseção U inter J_x é vazia, pois se houvesse pontos de U em J_x (que é aberto), haveria uma quantidade não-enumerável de pontos de A dentro de J_x. Portanto, os J_x sãp todos disjuntos, e escolhendo um racional dentro de cada um deles mostramos que eles são enumeráveis! Pelo mesmo argumento, o conjunto U_2 dos pontos de condensação à direita também é enumerável.
Me lembrei agora que na verdade o exercício do Elon era pra mostrar que o conjunto dos pontos de acumulação unilateral de qualquer conjunto era enumerável. Era mais ou menos o mesmo argumento que esse, só que cada J_x tinha interseção vazia com A, ao invés de ter interseção enumerável. Isso aí de mostrar que B inter A não é enumerável eu deixo pra depois. abraços! 2013/2/11 Artur Costa Steiner <artur_stei...@yahoo.com>: > Em um espaço topológico qualquer, dizemos que x é ponto de condensação de um > conjunto A se, para toda vizinhança V de x, V inter A não for enumerável. > Por exemplo, todos os pontos de um disco fechado em R^2 são pontos de > condensação do correspondente disco aberto. > > É imediato que todo ponto de condensação é ponto de acumulação. > > Em R, com a métrica euclidiana, temos ainda os seguintes conceitos correlatos: > > Dizemos que x é ponto de condensação bilateral de A se, para todo eps > 0, > ambos os intervalos (x - eps, x) e (x + eps) tiverem com A interseções não > enumeráveis. E dizemos que x é ponto de condensação unilateral de A se, para > todo eps > 0, um destes intervalos, mas não ambos, tiver com A interseção não > enumerável. Isto é, no caso bilateral, os pontos de A condensam-se à direita > e à esquerda de x; e, no caso unilateral, apenas em um dos lados (podemos, se > quisermos, definir pontos de condensação à direita e à esquerda). Observamos > que, com base nestas definições, pontos de condensação bilaterais não são > unilaterais. Estes últimos não são casos particulares dos primeiros. > > Por exemplo, todo elemento de (0, 1) é ponto de condensação bilateral do > mesmo. 0 e 1 são os únicos pontos de condensação unilaterais deste conjunto. > No caso, não pertencentes ao conjunto. Temos também que 1 é ponto de > condensação bilateral de (0, 1) U (1, 2). Não pertencente à união. > > A questão é: seja A um subconjunto não enumerável de R. Sejam B o conjunto de > seus pontos de condensação bilaterais e U o dos pontos de condensação > unilaterais. Mostre que > > U é enumerável > B inter A não é enumerável > > Os seguintes fatos, válidos em qualquer espaço métrico separável (que > contenha um conjunto denso enumerável, como os racionais em R), talvez possam > ajudar: > > Sendo C o conjunto de todos os pontos de condensação do não enumerável A, > temos que > > C inter A não é enumerável > C é fechado > Todo elemento de C é ponto de condensação de A inter C > O conjunto dos elementos de A que não são pontos de condensação do mesmo é, > no máximo, enumerável > > > Abraços a todos. > > > Artur Costa Steiner > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
