2013/3/13 marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com>:
> Saja um triângulo cujos lados medem a,b e c e R o raio da circunferência
> circunscrita.
> Mostre que a^2 + b^2 + c^2 = 8R^2 se,e somente se,o triângulo é retângulo.
>
> Se o triangulo é retangulo,considerando a < = b < c,temos que a^2 + b^2 =
> c^2
> a^2 + b^2 + c^2= 2c^2 e,como c = 2R,segue que
> a^2 + b^2 + c^2 = 2.(2R)^2 = 8R^2
> Estou tentando a segunda parte da demonstração e não sai.
Eu fiz na marra... Chame os ângulos internos do seu triângulo de A, B,
C. Portanto, a = 2R sin(A), b = 2R sin(B), c = 2R sin(C). Note que C =
pi - A - B => sin(C) = sin(A+B).

Eleve tudo ao quadrado, cancele 4 R^2, fica:
sin^2(A) + sin^2(B) + sin^2(A+B) = 2

1 - sin^2 = cos^2, logo passando os senos pro outro lado

sin^2(A+B) = cos^2(A) + cos^2(B)

Mas também sin(A+B) = sin(A) cos(B) + sin(B) cos(A), ao quadrado temos

sin^2(A) cos^2(B) + 2 sin(A) cos(B) sin(B) cos(A) + sin^2(B) cos^2(A)
= cos^2(A) + cos^2(B)

Passe de novo termos pro outro lado:

2 sin(A) cos(B) sin(B) cos(A) = cos^2(A) (1 - sin^2(B)) + cos^2(B) (1
- sin^2(A)) = 2 cos^2(A) cos^2(B)

Cancele os cossenos

sin(A) sin(B) = cos(A) cos(B), ou então cos(A + B) = 0. Como os
ângulos estão entre 0 e pi/2 (SPG C é o maior ângulo) a única solução
é A + B = pi/2.

Deve dar para fazer por desigualdades também...
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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