A prova que conheço também é baseada neste teorema. Se (f_n) é uma sequência de funções contínuas definidas em um espaço topológico e com valores em R que convirja para uma função f, então o conjunto D das descontinuidades de f é de 1a categoria na classificação de Baire. Isto é, está contido numa união enumerável de conjuntos fechados com interior vazio. Como R é um espaço de Baire, D tem interior vazio.
No caso da função que vc deu, D é todo o [0, 1], que não tem interior vazio. Isto prova o desejado. Mas o teorema aqui usado não é pesado não. A demonstração não é assim complicada. Baseia-se no fato de que D é Gdelta. O que também não é muito difícil de mostrar. Acho que provar isto via epsilon delta é bem mais complicado. Artur Costa Steiner Em 20/05/2013, às 21:49, Samuel Wainer <sswai...@hotmail.com> escreveu: > Mostrar que não existe uma sequências de funções contínuas f_n:[0,1]-->R, > convergindo simplesmente > para a função f:[0,1]-->R tal que f(x)=0 para x racional e f(x)=1 quando x é > irracional. > > Vi uma demonstração que usa um teorema pesado usando que como as f_n > sãocontínuas o > conjunto dos elementos em que f é descontínua é de 1a categoria... > > Mas será que tem um jeito tranquilo de entendender usando epslon e delta? > Fiquei apanhando dessa questão por um bom tempo. > > Alguém tem alguma ideia?
