Eu fiz assim: f(x f(y)) = f(x)/y
se x=1: f(f(y)) = f(1)/y suponha f(a) = f(b) -> f(f(a)) = f(f(b)) -> f(1)/a = f(1)/b -> a=b, daonde vem que f é injetora se x = 0, f(0) = f(0)/y, qualquer que seja y, daonde vem que f(0) = 0 se y = 1, f(x f(1)) = f(x), mas como f é injetora, x f(1) = x, f(1) = 1 daonde vem f(f(x)) = 1/x e f(f(f(f(x)))) = x (como você disse) como 1/x pode assumir qualquer valor real, f é sobrejetora, faça y = f(a) f(x f(f(a))) = f(x)/f(a) f(x/a) = f(x)/f(a) -> f(x/a) f(a) = f(x) Faça x/a = b, f(a) f(b) = f(a b) se b=a, f(a²) = f(a)² se b = a², f(a³) = f(a²)f(a) = f(a)³ suponha f(a^n) = f(a)^n, faça b = a^n f(a^(n+1)) = f(a^n)f(a) = a^(n+1) Logo f(a^n) = f(a)^n para n inteiro positivo Fazendo a = b^(1/n) f(b) = f(b^(1/n))^n -> f(b^(1/n)) = f(b)^(1/n) fazendo n = q e b = x^p f(x^(p/q)) = f(x^p)^(1/q) = f(x)^(p/q) Logo f(x^n) = f(x) ^n, para n racional positivo (como eu estendo para os reais???) Tome um k qualquer diferente de 1, seja z = Log[f(k), k], log de f(k) na base k, f(k) = k^z Seja n = Log[x, k] f(x) = f(k)^Log[x, k] = k^(z Log[x, k]) = x^z Logo f(x) = x^z Pelo que eu vejo, se eu considerar f contínua, os reais teriam a mesma propriedade dos racionais, e eu diria que x^z é a única função que satisfaz a multiplicativa. Como eu sei que existem mais soluções para a equação de Cauchy, eu diria que a solução do exercício é descontínua, gerando uma função da forma: f(x) = a, se x satisfaz... f(x) = b, se x satisfaz... Mas eu não tenho idéia de como posso criar uma função desse tipo. Você disse em trabalhar com os primos, como eu posso fazer isso? (minha teoria dos números é péssima... ) Obrigado João > Date: Sat, 29 Jun 2013 19:01:26 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equações funcionais > From: bernardo...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > 2013/6/29 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>: > > Meu professor me passou uma lista de equações funcionais e teve 3 problemas > > que eu não consegui fazer, ficaria grato se vocês me dessem uma mão > > > > 3) (IMO) Seja Q+ o conjunto dos reais positivos. Construa uma função f:Q+ -> > > Q+ tal que f(x f(y)) = f(x)/y, qualquer que seja x e y pertencentes Q+ > > DICAS: > > a) Prove que a função é injetora > > b) Prove que a função é multiplicativa > > > > No terceiro eu consegui provar que a função é injetora e bijetora, e com > > isso consegui provar que também é multiplicativa, ou seja, f(a.b) = > > f(a).f(b) > > Mas daí eu apliquei a quarta equação funcional de Cauchy, que tem como > > solução f(x) = x^k, achando k = i, absurdo > > Na verdade, você achou que f(f(f(f(x)))) = x, né? (f composta 4 vezes) > E também f(f(x)) nem sempre é igual a x, então não dá uma função tão > simples como f(x) = 1/x, que é a tentativa inicial (pelo menos pra > mim). > > > Eu andei pesquisando na internet e vi que existem outras soluções para a > > equação de Cauchy além da trivial, e x^k obviamente não dá certo. Como > > poderia construir uma função que satisfaça o exercício? > > Como f é multiplicativa, basta ver como ela funciona nos números > primos, e como ela funciona para inversos (multiplicativos) f(1/x) = ? > Daí, tente achar um jeito de "driblar" a "raiz quarta da unidade". > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
