Caros, Complementando entao a resposta do Luís Lopes, aqui vai a solução do problema:
ANÁLISE DO PROBLEMA: Seja M a projeção de O na reta suporte de DH. Supondo a solução do problema conhecida, seja M´ a interseção de OM com a circunferência circunscrita. Por uma análise angular "simples" é possível concluir que AOM' = (A + 2B) [ou (A + 2C)], de modo que OAM' = OM'A = (C-B)/2 [ou (B-C)/2]. Assim, AM' é a própria bissetriz interna do ângulo A no triângulo desejado ABC, e, por isso mesmo, D pertence a AM'. No triângulo AOM', com OA = OM', seja P1 a altura do vértice O relativa ao lado AM'. Assim, temos duas propriedades que nos permitem determinar o ponto P1: (i) Como AOM' é isósceles, OP1 é perpendicular a AM' (e a AD). Assim, OP1D = 90 graus, de modo que P1 pertence à circunferência de diâmetro OD. (ii) Como AOM' é isósceles, P1 é o ponto médio de AM'. Como OM' é paralela a AH (ambas são perpendiculares à reta suporte de DH), P1 pertence à reta paralela a essas duas retas (OM' e AH) passando pelo ponto médio de HM. CONSTRUÇÂO (i) trace a circunferência C1 de centro O1 e raio OO1, onde O1 é o ponto médio de OD, determinando a interseção M (ponto médio do lado BC) sobre a reta suporte de DH. (ii) trace a perpencidular p à reta suporte de DH pelo ponto médio P de MH, determinando sobre C1 a(s) interseção(ões) P1 (e P2). (iii) prolongue DP1, determinando o vértice A sobre a perpendicular a DH por H. (o prolongamento de DP2 gera uma outra solução para o vértice A). (iv) trace a circunferência de centro O e raio OA circunscrita ao triângulo, determinando os outros dois vértices B e C sobre a reta suporte de DH. OBS 1: É possível ter 0/1/2 solução(ões) para o vértice A, dependendo se a reta p não-intercepta/tangencia/é-secante a C1. OBS 2: Os vértices B e C podem ser intercambiados. Abracos, sergio 2013/6/26 Luís Lopes <qed_te...@hotmail.com> > Sauda,c~oes, oi Sergio, > > Sim, continuo na lista. > > Caiu no ITA, foi? Bom saber. > > Gosto mesmo destes problemas. Vou mandar em seguida mais > um, que acabo de conhecer. Problema (presente) de grego. > > === > Eu não consegui, mas obtive a solução na internet > (a qual envio numa próxima mensagem). > === > Fico curioso. Conseguir como? Com o Google?? E e e ??? > > Para construir o triângulo, precisamos conhecer um resultado > fundamental: a bissetriz ASa é bissetriz também do ângulo > HaAO. > > Outro fato, esse elementar: a reta (A , Ha) é perpendicular â reta > (Ha , Sa). > > Ultima dica: pense num circulo e numa reta "espertos" . > > Valeu Sergio pelo problema. > > Abs, > Luis > > > ------------------------------ > Date: Wed, 26 Jun 2013 08:01:02 -0300 > Subject: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989 > From: sergi...@smt.ufrj.br > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > Essa é em homenagem ao Luís Lopes e ao E. Wagner > (não sei se ainda acompanham a lista): > > Construa o triângulo ABC dados em posição: > . o pé "Ha" da altura do vértice A em relação ao lado BC. > . a interseção "Sa" da bissetriz do ângulo A com o lado BC. > . o circuncentro "O" do triângulo. > > Eu não consegui, mas obtive a solução na internet > (a qual envio numa próxima mensagem). > > Abraço, > sergio > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
