OK. Segunda tentativa. Acho que agora vai.
Deve dar para fazer com menos contas, mas eu nao otimizei nada:

Pela lei dos cossenos:
  a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(A) = b^2 + c^2 - 2bc + 2bc - 2bc cos(A) =
(b-c)^2 + 2bc(1 - cos(A))     (*)

Pela lei dos senos:
  a = b sen(A)/sen (B) = c sen(A)/sen(C)
e assim
  a^2 = bc sen^2(A) / (sen(B) sen(C))   (**)

Alem disso, tem-se ainda que
  b sen(C) = h_a
  c sen(B) = h_a
e assim
  bc = h_a^2 / (sen(B) sen(C))     (***)

Combinando (**) e (***), tem-se que
  a^2 = h_a^2 / (sen(B) sen(C))^2 (****)

Usando (***) e (****) em (*):
  h_a^2 / (sen(B) sen(C))^2 = (b-c)^2 + 2 h_a^2 (1 - cos(A)) / (sen(B)
sen(C))
ou equivalentemente
  1 / (sen(B) sen(C))^2 = (b-c)^2 / h_a^2 + 2(1 - cos(A)) / (sen(B) sen(C))
        (*5)

Assim, fizemos aparecer o termo (b-c)^2 / h_a^2 que eh dado do problema.

Precisamos, porem, escrever o termo (sen(B) sen(C)) em funcao dos dados do
problema
e de sen(B-C) ou cos(B-C), como desejado: No caso, tem-se que
  sen(B) sen(C) = (cos(B-C) - cos(B+C)) / 2 = (cos(B-C) - cos(180 - A)) / 2
= (cos(B-C) + cos(A)) / 2     (*6)

Assim, usando (*6) em (*5) voce tem a equacao que descreve cos(B-C) em
funcao dos dados do problema!

Abraco,
sergio




2013/7/17 Sergio Lima <sergi...@smt.ufrj.br>

> Na verdade, eu comi uma mosca enorme:
>
> Como
>      c sen(B) = b sen(C) = h_a,
> então
>      |b - c| / h_a = |sen(C) - sen(B)| / (sen(B)sen(C)),
> que nao resolve nosso problema
> (depois de muita conta fica um h_a no denominador que nao consegui tirar).
>
> De volta à prancheta...
>
> Abraco,
> sergio
>
>
>
>
> 2013/7/16 Sergio Lima <sergi...@smt.ufrj.br>
>
>> Caro Luís,
>>
>> Como
>>      c sen(B) = b sen(C) = h_a,
>> então
>>      |b - c| / h_a = |sen(C) - sen(B)|.
>>
>> Logo, usando transformação em produto,
>>      |b - c| / h_a = |2sen((C-B)/2) cos((C+B)/2)| = |2sen((C-B)/2)
>> cos((180-A)/2)| = |2sen((C-B)/2) cos(90 - A/2)| = |2sen((C-B)/2) sen (A/2)|
>> e assim
>>   |sen((C-B)/2)| = (|b - c| / h_a) / (2 sen(A/2)).
>>
>> Lembrando que
>>    cos(2x) = -+ raiz(1 - sen^2(2x)) = 1 - 2sen^2(x),
>> então
>>    sen(2x) = -+ raiz(1 - (1 - 2sen^2(x))^2),
>> e assim, tem-se que
>>   |sen(C-B)| = raiz(1 - (1 - 2sen^2((C-B)/2))^2),
>> onde sen((C-B)/2) é dado acima.
>>
>> Agora, como o seu interlocutor falou, daí a deduzir a construção...
>>
>> Abraço,
>> sergio
>>
>>
>>
>> On Mon, Jul 1, 2013 at 6:22 PM, Luís Lopes <qed_te...@hotmail.com> wrote:
>>
>>> Sauda,c~oes,
>>>
>>> Da mesma lista do anterior.
>>>
>>> [APH]
>>> >In a triangle are given:
>>> > a, A and the ratio |b-c| / h_a = m/n
>>> >
>>> > (where h_a is the altitude from A)
>>> > Prove that it has an Euclidean construction.
>>> > (Ref.: Parartema, Nov. 1939, p.393)
>>>
>>> [Luis]:
>>> > Again, I have no idea.
>>> > May I have a hint ?
>>> > Thanks.
>>>
>>> Dear Luis,
>>>
>>> Whenever we have an angle [so sin(of_that_angle) = sin(of_the_sum_of_
>>> the_other_two)] a good idea is to express the sin or cos
>>> of the difference of the other angles by the data of the
>>> problem.
>>> If the equation we get is of <= 2 degree it is possible
>>> to have an euclidean construction.
>>>
>>> But how to make that construction geometrically is another
>>> story....
>>>
>>> Alguém saberia construir o triângulo dados
>>> a, A and the ratio |b-c| / h_a = m/n  ?
>>>
>>> Ou expressar sin(B-C) em função destes dados ?
>>>
>>> Abs,
>>> Luis
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

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