Marcos, desculpe a demora em agradecer. Valeu mesmo!
Vanderlei
Em 8 de agosto de 2013 10:47, Marcos Martinelli
<mffmartine...@gmail.com>escreveu:
> Seja A pertencente a M_n (R) (A é uma matriz do espaço das matrizes
> quadradas de ordem n *com coeficientes reais*).
>
> *Lema 01)* Se A é simétrica -> todos seus autovalores são números reais.
>
> *obs* ("corolário" do Lema 01): dado que temos todos os autovalores
> reais, sempre podemos escolher os autovetores de A com todos os elementos
> reais.
>
> *Lema 02)* Se A é simétrica -> existe uma matriz S (cujas colunas são
> todos os autovetores de A) tal que A = S . D . S^(t), onde D é uma matriz
> diagonal formada por todos os autovalores de A e S^(t) é, como usual, a
> transposta de S.
>
> *Queremos mostrar*: se A pertence a M_n (R) e é *simétrica definida
> positiva*, então todos os elementos de sua diagonal principal são
> positivos.
>
> Do Lema 02, existe uma matriz S = (s_ij) e D = (d_ij) [d_ii = lâmbda_i
> (autovalores de A) para qualquer i e d_ij=0 para qualquer i <> j].
>
> Seja X = S.D. Da definição do produto de matrizes:
>
> x_ij = soma(1 <= k <= n) s_ik . d_kj = s_ij. d_jj = s_ij . lâmbda_j.
>
> Agora, façamos o produto de X por S^(t) para obter A:
>
> a_ij = soma(1 <= k <= n) x_ik . s_jk = soma(1 <= k <= n) (s_ik .
> lâmbda_k) . s_jk. Podemos forçar i=j:
>
> a_ii = soma(1 <= k <= n) lâmbda_k . (s_ik)^2 > 0, uma vez que todos os
> lâmbda_k são positivos e nem todos os s_ik podem ser nulos.
>
>
>
>
> Em 8 de agosto de 2013 08:21, Vanderlei Nemitz
> <vanderma...@gmail.com>escreveu:
>
>> Pessoal, preciso de uma ajuda em Álgebra Linear:
>>
>> Uma matriz simétrica A é definida positiva se todos os seus autovalores
>> são positivos.
>>
>> *Como provar que em uma matriz definida positiva todos os elementos da
>> diagonal principal são positivos?*
>>
>>
>> Obrigado!
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
