E-mail original: ― João Carlos Alves Barata (1DEZ1999) ― Sobre a Importância de Demonstrações
O texto abaixo foi extraído de “O Último Teorema de Fermat”, de Simon Singh. Ed. Record (1997). 1a. Conjectura Falsa: Há uma sequência em particular de números primos que nos mostra como a extrapolação é uma muleta perigosa de se apoiar. No século XVII, os matemáticos mostraram que os seguintes números são todos primos: 31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 e 33.333.331. Os elementos seguintes da sequência se tornam cada vez maiores e o trabalho de verificar se eles também são primos teria exigido um esforço considerável. Naquela época, os matemáticos ficaram tentados a extrapolar a partir deste padrão e presumir que todos os números com a forma sugerida pela lista acima são primos. Contudo, o número seguinte 333.333.331 revelou não ser primo: 333.333.331 = 17 x 19.607.843 2a. Conjectura Falsa: Outro bom exemplo que ilustra por que matemáticos se recusam a ser convencidos por alguns exemplos ou pela evidência de computadores é o caso da conjectura de Euler. Euler (o Euler!!!) afirmou que não há soluções entre os inteiros para uma equação não muito diferente da de Fermat: x^4 + y^4 + z^4 = w^4 Durante 200 anos (200 anos!), ninguém pôde provar a conjectura de Euler mas, por outro lado, ninguém podia negá-la encontrando um contraexemplo. Primeiro, cálculos manuais e, depois, anos de computação eletrônica não conseguiram encontrar uma solução. A ausência de um exemplo negativo era apontada como uma forte evidência a favor da conjectura. Então, em 1988, Naom Elkies, da Universidade de Harvard, descobriu a seguinte solução: (2.682.440)^4 + (15.365.639)^4 + (18.796.760)^4 = (20.615.673)^4 Apesar de todas as evidências, a conjectura de Euler revelou-se falsa. De fato, Elkies provou que existem infinitas soluções para a equação. A moral da história é que não se pode usar a evidência dos primeiros milhões para provar uma conjectura referente a todos os números. 3a. Conjectura Falsa: Mas a natureza enganadora da conjectura de Euler não é nada comparada com a chamada “conjectura do número superestimado de primos”. Examinando-se números cada vez maiores, torna-se claro que os números primos ficam cada vez mais difíceis de ser achados. Por exemplo, entre 0 e 100 existem 25 números primos, mas entre 10.000.000 e 10.000.100 existem apenas 2 números primos. Em 1791, quando tinha apenas quatorze anos de idade, Carl Friedrich Gauss previu, de modo aproximado, a frequência com que os números primos diminuiriam (*). A fórmula sugerida por Gauss, de fato, aproxima bem o número de primos, mas parecia superestimar levemente a verdadeira distribuição dos primos. Procurando-se todos os primos até um milhão, um bilhão ou um trilhão sempre mostrava-se que a fórmula de Gauss era levemente generosa e os matemáticos foram tentados a acreditar que isto aconteceria para todos os números até o infinito. Daí nasceu a “conjectura do número superestimado de primos”. Então, em 1914, J. E. Littlewood, colaborador de G. H. Hardy, em Cambridge, mostrou que para um N suficientemente grande a fórmula de Gauss iria subestimar o número de primos. Em 1955, S. Skewes mostrou que isso aconteceria pouco antes de se chegar ao número: 10^10^10^34 = 10^10^10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 Um número além da imaginação e sem qualquer aplicação prática (**). ________________________________________ Footnotes: ________________________________________ (*) ― O chamado Teorema dos Números Primos, sugerido por Gauss e demonstrado por Hadamard e de la Vallee Poussin, no fim do século XIX, afirma essencialmente o seguinte: Seja PI(N) o número de primos entre 1 e N. Então, quando N é grande, PI(N) é aproximadamente dado por N/ln(N). ________________________________________ (**) ― Para comparação, o número de partículas no universo é da ordem de 10^87, “apenas”. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
