2014-02-15 10:20 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges <
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> Se x é um numero real,seja [x] o maior inteiro n tal que n < = x
> Exemplos [pi] = 3 e [3] = 3
> Seja x - [x] = ´´parte decimal de x´´
> Eu desconfio que as ´´partes decimais´´ de (n.2^1/2)/2 e n.{1 - (2^1/2)/2}
> somam 1.
> Nao consigo justificar.Alguem ajuda?
>
> No capítulo 3 do Concrete Mathematics, tem vários truques legais pra
trabalhar com isso.
Para n par, sua conjectura é verdadeira (eu uso * p/ multiplicação):
(n * 2^1/2)/2 + n * (1 - 2^1/2)/2 - [(n * 2^1/2)/2] - n * (1 - 2^1/2)/2
= n/2 - [(n * 2^1/2)/ 2 + [n(1 - 2^1/2) / 2] ] (a gente pode por
inteiros dentro)
= n/2 - [(n * 2^1/2)/2 + [n/2 - n*2^1/2 / 2] ] (n/2 é inteiro e sai)
= - [(n * 2^1/2)/2 + [- n * (2^1/2) / 2 ]
= - [(n * 2^1/2)/2 - ]n * (2^1/2) / 2[ ] (aqui usamos a função ]x[ =
min{n inteiro | n >= x} e a propriedade [-x] = -]x[... a notação ficou um
pouco confusa...)
Como (n*2^1/2)/2 é irracional nós obtemos na expressão acima: - [ -0.abc...
] onde 0.abc é uma fração maior que 0. E isso se reduz ao valor 1.
Fazendo operações similares pra n ímpar concluímos que:
-1/2 - [ (n * 2^1/2)/2 - ](n * 2^1/2 + 1)/2[ ] (aqui eu usei o fato de que
(n+1)/2 é inteiro e compensei de acordo)
Esse valor não pode ser inteiro já que a expressão entre [ ] vai resultar
em um número inteiro que será subtraído de -1/2.
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[]'s
Lucas
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