Para n=1, eh obvio. Vamos ao passo de inducao: suponha que, para qualquer k inteiro, A=k(k+1)...(k+n-3)(k+n-2) eh multiplo de (n-1)!.
Agora considere B=m(m+1)(m+2)....(m+n-1). Como sao n numeros consecutivos, um deles tem que ser multiplo de n, digamos, x=m+a. Escrevendo em funcao de x, fica: B=(x-a)(x-a+1)...(x-1)x(x+1)...(x+n-a-2)(x+n-a-1) Argumento inicial: se x for o ultimo fator, acabou, pois seriam n-1 numeros consecutivos (cujo produto eh divisivel por (n-1)!), vezes x, que eh divisivel por n. Senao, procederemos a uma expansao escolhida a dedo com relacao ao ultimo termo. No primeiro passo, pense (x+n-a-1)=n+(x-a-1) e distribua -- note que eu escrevi o x-a-1 no INICIO do segundo produto abaixo: B=(x-a)(x-a+1)...(x+n-a-2).n + (x-a-1)(x-a)(x-a+1)....(x+n-a-2) Fazendo k=(x-a), vemos que o primeiro termo eh divisivel por (n-1)!.n=n!; vamos abrir o segundo termo pelo mesmo truque, (x+n-a-2)=n+(x-a-2). B= c1.n! + (x-a-1)(x-a)(x-a+1)....(x+n-a-3).n + (x-a-2)(x-a-1)(x-a)....(x+n-a-3) Agora tome k=(x-a-1) e veja que a segunda parcela da soma eh divisivel por n!, entao abra o terceiro via (x+n-a-3)=n+(x-a-3): B = c2.n! + (x-a-2)....(x+n-a-4).n + (x-a-3)(x-a-2)(x-a-1)...(x+n-a-4) = ... e assim por diante. A ideia eh que a cada passo voce expande usando o n do ultimo termo para gerar uma coisa que tem n!, e "translada" o ultimo fator do produto para a primeira posicao. Bom, vah fazendo isso ateh que a parcela que resta da soma seja (x-n+1)(x-n+2)...(x-1)x. Agora, como x eh o ultimo fator, acabou pelo argumento inicial. ---///--- Essa solucao PARECE fazer inducao soh em n, mas no fundo no fundo eu estou disfarcadamente fazendo uma inducao em n e k ao mesmo tempo, que nem nas outras solucoes propostas... :( Abraco, Ralph. 2014-04-16 19:53 GMT-03:00 Ennius Lima <[email protected]>: > Caros Colegas, > > Pode-se demonstrar por indução sobre n (somente sobre n) que o produto de > n inteiros consecutivos quaisquer é múltiplo do fatorial de n? > Até agora não consegui nenhuma demonstração assim. > > Agradeço-lhes a habitual gentileza. > Abraços do Ennius Lima. > _____________________________________ > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
