Isto é consequência da definição do produto de dois complexos. Se z = a + bi e w = c + di, com a, b c e d em R, então
zw = wz = (ac - bd) + (ad + bc)i Se z (ou w) for nulo, então ambas duas partes são nulas e zw = 0 Se z ou w, digamos w sem perda de generalidade, não for nulo e zw = 0, então cd != 0 e ac - bd = 0 ad + bc = 0 Este sistema linear homogêneo em a e b tem determinante D = c^2 + d^2. Como c e d não são ambos nulos, D != 0 e a única solução é a = b = 0, logo z = 0. Isto faz parte da prova de que C é um corpo com relação à adição e multiplicação. No caso da sua pergunta, vemos que se x não for nulo então x^2 não é nulo. Por indução, provamos que, para todo inteiro positivo n, x^n não é nulo. Logo, se x^n = 0, então x = 0. E se x = 0, x^n = x . x^(n - 1) = 0 Artur Costa Steiner > Em 30/04/2014, às 06:28, Ennius Lima <[email protected]> escreveu: > > Caros Colegas, > > Sendo x um número complexo qualquer e n um número inteiro positivo, como > provar que x^n = 0 se, e somente se, x = 0? > > Abraços do Ennius! > ________________________________________________________ > > >  >  > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
