Boa tarde!

Use congruência módulo 1000. Os últimos três algarismos de um número
(logicamente com 3 ou mais dígitos) são os mesmos que aparecem no resto da
divisão por mil (congruência módulo m).
Podemos afirmar que se (a^k) ≡1  mod m  (a^k)^n ≡ (a^k) ≡1   mod m, a,k,n,m *Ɛ
Z* e k,m >0

Logicamente se a ≡ x  mod m^3, a ≡ x  modm^2, a ≡ x mod m

Basta ver que a ≡ x  mod m^3 0<x<m^3 ==> Existe k *Ɛ Z | *a* = *k*m^3 + x*
==>* a= (k*m)*m^2 + x Pelo fechamento da multiplicação em Z*, *temos que: a
≡ x  modm^2.  Com o mesmo raciocínio você chega nas potências menores.

Você tem que pensar assim adoraria saber qual potência,  de 7 dá congruente
a 1 mod 1000.
Seja a^b ≡1  mod 1000.
Usando divisão Euclidiana temos que 999 = k*b+r,  k,b,r *Ɛ Z *e
0<r<b*.*Portanto podemos escrever 7^999= (7^b)^k*7^r=7^r
*. *
Como 7^b  ≡1  mod 1000, por hipótese temos que (7^b)^k ≡ (1)^k  ≡1  mod
1000.
Logo 7^999 ≡ 7^r  mod 1000. se tivermos sorte de achar um b pequeno temos
que r < b, facilita.

Primeiramente vá fazendo a potência de 7 até que você ache uma congruente a
1 mod 10.

(Se você conhecer ordem, teorema de Euler-Fermat e função totiente de Euler
fica mais fácil achar esse valor). Caso contrário mão na massa

(i) 7^1 , 7^2, 7^3 7^4, 7^5.... até que você encontre uma potência
congruente a 1 mod 10. Digamos x.
(ii) Verifique se ela congruente a 1 mod 100. Caso seja pule o passo (iii)
(iii)  Procure a menor potência múltipla de x (depois explicarei por que)
que é congruente a 1 mod 100. 7^(2*x), 7^(3*x),7^(4*x) ..... Digamos y
(iv) Verifique se ela já é congruente  a 1 mod 1000. Caso seja pule o passo
(v)
(v) Procure a menor potência múltipla de y (depois explicarei por que, como
já dito) que é congruente a 1 mod 100. 7^(2*x), 7^(3*x),7^(4*x) .....
Digamos z.
(vi) Calcule o resto de 999 por z e ache a congruência a mod 1000, onde 0<
a < 1000. É essa a resposta.

É óbvio que se (a^k) ≡1  mod m  (a^k)^n ≡ (a^k) ≡1   mod m, a,k,n,m *Ɛ Z* e
k,m >0*, * como (a^k)^n = a^(k*n), temos que toda potência de k também é
côngruo mod m.

Seja s a menor potência de a | a^s ≡1  mod m. Se a^x ≡1  mod m ==> x é
mútiplo de s.
Vamos mostrar por absurdo> Suponha que exista x e x não seja múltiplo de m.


Para m >1, se x não é múltiplo de m ==> Existe k *Ɛ Z |  *k*s < x <( k+1)*s

Como (k+1)*s - k*s= s ==> x - k*s < s, pois x < (k+1)*s.

a^x ≡1  mod m==> a^(k*s + (x-k*s)) ≡1  mod m . Como  a^(k*s + (x-k*s))=
a^(k*s) * a^(x-k*s) ==>  a^(k*s) * a^(x-k*s) ≡1  mod m
Como a (k*s) ≡1  mod m ==> a^(x-k*s) ≡1  mod m ==> Existe t = x-k*s | a^t
≡1  mod m

Porém t é menor que s, que por suposição é mínimo, absurdo.

Dica as potências podem ficar tão grandes que nem as planilhas de Excel
suportem.

Por exemplo

7^x ≡ 801 mod m
7^(2x)  ≡ 801^2 mod m (outra dica se o número for maior que a metade de m,
use o complemento de (801- m), no caso m =1000, vale a pena.
Lembre que as classes de equivalência conservam, adição, multiplicação e
potenciação. Se subtrair m, o resultado permanece na mesma classe de
equivalência.
7^2x ≡ 601 mod m
7^3x≡ (601*801) mod m
Note que assim você estará multiplicando sempre dois números com módulos
inferiores a 1000, o que qualquer lápis e caderno suportam, quanto mais o
excel.
Mas será que o excel suporta achar o mod 100 de 7^24 por exemplo.

Agora mais uma dica, a melhor forma de agradecer é aprender. Você está
precisando de estudar teoria dos números. Tem um artigo muito bom:
http://www.icmc.usp.br/pessoas/etengan/imersao/imersao.pdf, vale a pena
estudá-lo e um artigo vai puxando o outro. Espero que você consiga resolver.

Saudações,
PJMS





Em 2 de maio de 2014 15:16, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Entao percebi que os dois ultimos digitos das potencias de 7 sao
> periodicos e sempre terminam em 01, 49, 43, 07, assim os digitos das
> centenas com certeza devem ser periodicos tambem. Verifique!!
> Abracos do Douglas Oliveira
>
>
> Em 30 de abril de 2014 16:38, <ruymat...@ig.com.br> escreveu:
>
>  Quais os três últimos dígitos de 7^9999?. Sempre agreço muito quem
>> resolve sempre o faço antecipadamente. Obrigado. Abraço. R.O.
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