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De: Pedro José <petroc...@gmail.com>
Data: 12 de maio de 2014 17:00
Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisível por
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Boa tarde!
d | a (d divide a ) <==> Ǝ x Ɛ Z | xd = a.
Daí podemos tirar:
(i) a ǂ0 e d | a ==> |d| ≤ |a|.
(ii) d | a e d | b ==> d | xa + y b, onde x,y Ɛ Z
(iii) a = 0 ==> Para todo d Ɛ Z : d |a.
A) Primeiro encontremos solução para a = 0, ou seja, x + y = 0 ==> y =
-x. *S1= {(x,y) Ɛ Z2 | y = -x}*
B) Agora para a ǂ 0.
Como grau de xy é maior que grau de x+ y, haverá limitante para | xy -1 | ≤
| x +y |, que deve ser atendida.
1) x > 0 e y >0
Seja hx, hy Ɛ Z e hx,hy ≥ 0 e x = 3 + hx e y = 3 + hy (iv)
De (ii) e (iv) temos que |8 + 3hx +3 hy +hxhy| ≤ |6 + hx + hy | ==> 2 + 2hx
+ 2 hy + hxhy ≤ 0, impossível ==> Não existem soluções para x* >* 3 e y ≥2 *ou
**x ≥2 e y > 3.*
Portanto x < 3 ou y < 3.
1.1) x = 1 ==> y -1 | y +1 (v)
y-1 | y-1 (vi). (ii), (v) e (vi) ==> y-1 | 2 pois, 2 = (y +
1) – (y-1)
então y-1 = 1 ou y-1 =2 ==> y = 2 ou y = 3. Logo temos mais dois pares
ordenados como solução ==> *S2 = {(1,2), (1,3)}*
1.2) x = 2 ==> 2y -1 | y +2 (vii)
2y-1 | 2y -1 (viii). (ii), (vii) e (xiii) ==> 2y-1| 5, pois 5 = 2 (y+2) –
(2y-1)
Então 2y-1 =1 ou 2y -1 = 5 ==> y =1 ou y = 3. *S3 =* *{(2,1),(2,3)}*
1.3 ) x= 3 e y < 3.
3y -1 | y +3 (x)
3y -1 | 3y -1 (xi). (ii), (x) e (xi) ==> 3y -1 |10; pois, 10 = 3(y+3) –
(3y-1)
Então: 3y -1 = 1 ou 3y-1= 2 ou 3 y-1 =5 ou 3 y -1 = 10 ==> y = 1 ou y = 2
==> *S4 = {(3,1),(3,2)}*
Devido a comutatividade da adição e da multiplicação os resultados são
simétricos, ou seja. Se (x,y) Ɛ S ==> (y,x) Ɛ S.
Como S2 U S3 U S4 = {(1,2), (2,1), (1,3),(3,1), (2,3), (3,2)} três pares
simétricos à reta y=x; se procurarmos as soluções para y=1; y = 2 e y =3 e
x<3 encontraremos os mesmos valores do Conjunto S2 U S3 U S4.
2) x > 0 e y <0
Seja hx, hy Ɛ Z e hx,hy > 0 e x = 1 + hx e y = -1 - hy (xii)
De (ii) e (xii) temos que |-1 – hx-hy – hxhy -1| ≤ |hx – hy|, impossível.
Logo não existem soluções para x ≥ 1 e y ≤ -1. (xiii) (logicamente
assumindo a restrição de B, ou seja, a ǂ 0; pois temos as soluções (1,-1),
(2,-2).. )
3) x < 0 e y >0 pela simetria do problema e por (xiii) também não
existem soluções.(novamente com a restrição a ǂ 0)
4) x <0 e y <0.
Seja hx, hy Ɛ Z e hx,hy ≥ 0 e x = -2 - hx e y = -2 - hy (xiv)
De (ii) e (xiv) temos que |3 +2 hx + 2 hy + hxhy| ≤ |-4 -hx – hy| ==> 3 +
2hx +2 hy +hxhy ≤ 4 + hx + hy ==> -1 + hx + hy + hxhy ≤ 0 ==> hx=1 e hy=0
ou hx=0 e hy =1.
Logo para x *<* -3 e y ≤ *-2* ou * y < -3 e x ≤ -2* não há solução .
4.1) x = -1 ==> -y -1 | y-1 (xv)
-y-1 | -y-1 (xvi). (ii), (xv) e (xvi) ==> y-1 | 2, pois 2 = -(y-1) – (-y-1)
Então -y -1 = 1, -y-1= 2. ==> y = -1 ou y = -3 ==> *S5 =
{(-1,-2),(-1,-3)}*
4.2) x= -2 ==> -2y-1 | y-2 (xvii)
-2y -1 | -2y -1 (xviii). (ii), (xvii) e (xviii) ==> -2y -1 | 5
Então -2y -1 = 1 ou -2y-1 = 5. ==> y =-1 ou y = -3 ==>* S6 = { (-2, -1),
(-2,-3)}*
4.3) x = -3 e y > -3. ==> -3y -1 | y -3 (xix)
-3y -1 | -3y -1 (xx). (ii), (xix) e (xx0 ==> -3y -1 | 10, pois, 10 =
-(-3y-1) -3(3y-3).
Então -3y -1 = 1 ou -3y-1 =2 ou -3y -1 = 5 ou -3y -1 = 10. ==> y =-1 ou y =
-2 ==> *S7= {(-3,-1),(-3,-2)}*
Devido a comutatividade da adição e da multiplicação os resultados são
simétricos, ou seja. Se (x,y) Ɛ S ==> (y,x) Ɛ S.
Como S5 U S6 U S7 = {(-1,-2), (-2,-1), (-1,-3),(-3,-1), (-2,-3), (-3,-2)}
três pares simétricos à reta y=x; se procurarmos as soluções para y=-1; y =
-2 e y =-3 e x>-3 encontraremos os mesmos valores do Conjunto S5 U S6U S7.
5) Agora só falta x=0 ou y=0.
5.1) x =0 ==> atende para qualquer y pois -1 | y-1 qualquer que seja y. (
note que Ǝ k=1-y | (-1).x = y-1)
5.2) y =0 ==> atende para qualquer x pois -1 | x-1 qualquer que seja x.
(atenderia também pela simetria do problema)
Logo a solução é *S ={(x,y) Ɛ Z2 | x=0 ou y=o ou y=-x} U {(1,2), (2,1),
(1,3),(3,1), (2,3), (3,2), {(-1,-2), (-2,-1), (-1,-3),(-3,-1), (-2,-3),
(-3,-2)}*
Tem um sítio com um artigo muito interessante, muito bem redigido e
bastante didático:
http://www.icmc.usp.br/pessoas/etengan/imersao/imersao.pdf.
Lá você encontrará outros problemas resolvidos e propostos, vale a pena dar
uma olhada.
Saudações,
PJMS
Em 12 de maio de 2014 08:52, Francisco Barreto
<costadutrabarr...@gmail.com>escreveu:
Produz (xy - 1)(x+y), e utiliza (x+y)(x + xy + y)
>
>
>
>
> 2014-05-12 8:32 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com>:
>
> Determine todos os inteiros x e y tais que xy - 1 divide x + y
>>
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