Na realidade, o teorema que vc citou é um caso particular de outro mais geral:
f: [a, b] --> R é Riemann integrável no compacto [a, b] se, e somente se, f for
limitada em [a, b] e contínua em quase to o [a, b]. Isto é, o conjunto dos
pontos de [a, b] em que f é descontínua tem medida de Lebesgue nula. Conjuntos
enumeráveis e conjuntos finitos têm medida de Lebesgue nula.
A sua função é integrável em [0, 2]. Para to x em [0,2], um cálculo simples
mostra que F(x) = Int [0, x] f(t) dt existe em R e é dada por
F(x) = x se x < 1
F(x) = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 se 1 <= x <= 2
F é contínua em [0, 2] e, para todo x diferente de 1, F'(x) = f(x). Mas F não é
diferenciável em 1. Existem F'(1-) = 1 e F'(1+) = 2, que são diferentes.
Portanto, F'(1) não existe. Logo, f não tem primitiva. Não existe nenhuma
função cuja derivada seja f em todo o [0, 2].
Não há erro no seu raciocínio. O que acontece é que ser Riemann integrável e
ter uma primitiva não são condições equivalentes. São conceitos distintos.
Se uma função f apresentar descontinuidade do tipo salto em um intervalo, então
f não tem primitiva neste intervalo. Mesmo que não seja, como no seu caso, uma
função do tipo escada, Isto porque derivadas nunca apresentam descontinuidades
do tipo salto.
Artur Costa Steiner
> Em 04/06/2014, às 21:54, João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>
> escreveu:
>
> Fala galera, vou ter prova de cálculo sexta e fiquei com uma dúvida de
> integrabilidade. Tem como vocês me darem uma ajuda?
>
> Dada a função f:[0, 2]->R tal que f(x) = {1 se x<1, 2 se x>=1}
> Determine se a função é integrável, e em caso positivo, ache sua primitiva.
>
> Tem um teorema que diz que, se f:[a,b] -> R é contínua exceto num número
> finito de pontos, então f é integrável em [a, b]
> Logo a função f é integrável, pois só é descontínua em x=1.
>
> Tem outro teorema que diz que, se f[a, b] -> R tem descontinuidade tipo
> salto, isto é, existe c pertencente a (a, b) tal que o limite de f(x) quando
> x tende a c+ é diferente do limite de f(x) quando x tente a c-, então f não
> admite primitiva no intervalo [a, b].
> E como no ponto x=1 tem descontinuidade tipo salto, então f(x) não admite
> primitiva em [0, 2]
>
> f(x) seria integrável e não admitiria primitiva, absurdo!
>
> Onde está o erro nessa demonstração?
>
> []'s
> João
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
