Será que eu poderia ver também o que o Artur concluiu, como abaixo?
Para L diferente de 1?
( vou escrever sem o x, para facilitar).
O limite pedido pode ser escrito como :
lim{[ (f(a+g)-f(a))/g][g/h] - [( f(a+h)-f(a))/h]}/(g/h-1) = (f´(a).L -
f´(a))(L-1)= f´(a).
E para L=1, ficaríamos ainda sem condições de levantar o símbolo de
indeterminação oo/oo.
Abraços
Pacini
Em 26 de junho de 2014 15:50, Ralph Teixeira <[email protected]> escreveu:
> Pois é. Em espírito, a minha ideia foi tomar a+g(x) MUITO PERTO de
> a+h(x), de forma que aquele quociente está muito mais para f'(a+g(x))
> (ou f´(a+h(x)), sei lá, eles estão MUUUITO PERTO um do outro) do que
> para f'(a). Como o Artur disse, é importante no exemplo que g(x)~h(x)
> (MUUUUUUUUUUUITO PERTO), o que fica bem traduzido por lim g/h=1.
>
> Enfim, se f´(x) não for contínua, f'(a+g(x)) não precisa se aproximar
> de f'(a) quando g(x) vai para 0, e daí vem o problema todo -- minha
> função não é C1.
>
> 2014-06-26 15:08 GMT-03:00 Artur Costa Steiner <[email protected]>:
> > Se lim (x --> 0) g(x)/h(x) = L <> 1 no sistema dos reais expandidos,
> então a
> > resposta é sim.
> >
> > Utilizando a notação o, a diferenciabilidade de f em a implica que, para
> > todo h tal que a + x permaneça no domínio de f, tenhamos
> >
> > f(a + h) = f(a) + f'(a) h + o(h), sendo o uma função contínua em 0 tal
> que
> > o(0) = 0 e tal que o(h)/h --> 0 quando h --> 0. Com isto, o seu
> quociente
> > de Newton generalizado q torna-se
> >
> > q(x) = (f(a) + f'(a) g(x) + o(g(x)) - (f(a) + f'(a) h(x) +
> o(h(x)))/(g(x) -
> > h(x)) =
> >
> > f'(a) + (o(g(x) - o(h(x))/(g(x) - h(x))
> >
> > Suponhamos que lim ( x --> 0) g(x)/h(x) = L em R, diferente de 1. Então,
> > existe uma vizinhança deletada de 0 na qual h não se anula e, dividindo o
> > numerador e o denominador por h(x), seu quociente de Newton generalizado
> > pode então ser escrito como
> >
> > q(x) = f'(a) + (o(g(x))/g(x) g(x)/h(x) - o(h(x)/h(x))/(g(x)/h(x) - 1)
> >
> > Assim,
> >
> > lim ( x --> 0) q(x) = f'(a) + (0 . L - 0)/(L - 1) = f'(a) + 0 = f'(a)
> >
> > Bateu!!!!!!
> >
> > Se L = + ou - oo, então lim (x -->0) g(x)/h(x) = 0. Divindindo agora em
> cima
> > e em baixo por g(x), que não se anula em uma vizinhança deletada de 0, um
> > raciocínio similar ao anterior mostra que bate de novo com f'(a).
> >
> > Mas pode acontecer que L = 1 ou que, quando x --> 0, não exista lim
> > g(x)/h(x). E agora, José?
> >
> > Eu fiz uns testes com L = 1 e bateu, mas não sei se é sempre verdade
> não. O
> > raciocínio acima não serve para L = 1, pois o denominador tende a 0. E
> se o
> > limite de g(x)/h(x) não existir em 0, a coisa parece ainda mas
> complicada.
> > Como o Ralph esquematizou, acho que nestes casos pode dar qualquer
> coisa. O
> > limite de q pode ser f'(a) como outro valor, como pode nem existir.
> >
> > Abraços
> >
> > Artur
> >
> >
> >
> > Em terça-feira, 24 de junho de 2014, Merryl <[email protected]>
> escreveu:
> >>
> >> Boa noite, amigos. Gostaria de ajuda com isto,
> >>
> >> Seja f uma função de R em R, diferenciável em a. Sejam g e h funções
> >> contínuas em 0 tais que g(0) = h(0) = 0. Suponhamos que exista uma
> >> vizinhança deletada de 0 na qual g - h não se anule. Então, é verdade
> que
> >>
> >> lim (x --> 0) [f(a + g(x)) - f(a + h(x))]/[g(x) - h(x)] = f'(a) ?
> >>
> >> Não tenho certeza. Este limite tem que existir? Se existir, é de fato
> >> f'(a)?
> >>
> >> Obrigada
> >>
> >> Amanda
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =========================================================================
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =========================================================================
>
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
