Observemos que a^m - 1 = (a - 1)(1 + a...+ a^(m - 1)). Suponhamos que n divida m. Então, m = kn para algum inteiro positivo k. Logo,
a^m- 1 = a^(kn) - 1 = ((a^n))^k - 1 = (a^n - 1) (1 + a^n ... + ...(a^n)^(k - 1)). Como no parênteses da direita do segundo membro as parcelas são todas inteiras, fica demonstrado que a^n - 1 divide a^m - 1. Suponhamos agora que n não divida m Existem então um inteiro positivo k e um inteiro 0 < r < n tais que m = kn + r. Assim, a^m - 1 = a^(kn + r) - 1 = a^r a^(kn) - 1 = a^r a^(kn) - a^r + a^r - 1= a^r[a^(kn) - 1] + a^r - 1. Como n divide kn, segue-se da conclusão anterior que a^n - 1 divide a^(kn) - 1, havendo assim um inteiro positivo c tal que a^(kn) - 1 = c(a^n - 1). Temos portanto que a^m - 1 = c a^r (a^n - 1) + a^r - 1. ca^r é inteiro. E como a > 1 e r < m, a^r - 1 < a^m - 1. Da igualdade acima concluímos então que a^m - 1 não divide a^n - 1. A recíproca fica assim demonstrada por contraposição. Eu sei que é também possível provar isto, até de forma mais rápida, por teoria de grupos. Só que no momento não está me ocorrendo a prova. Abraços Artur Em terça-feira, 8 de julho de 2014, Pedro Chaves <[email protected]> escreveu: > Caros Colegas, > > Gostaria, se possível for, de uma demonstração do teorema abaixo: > > Teorema: > Sendo a, n e m inteiros positivos, com a> 1, a^n - 1 divide a^m - 1 se, e > somente se, n divide m. > > Abraços do Pedro Chaves. > > ___________________________ > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
