x^2+y^2+z^2=3xyz x/yz+y/xz+z/xy=3 x=ayz a+1/az^2+1/ay^2=3 a>3 1/az^2+1/ay^2<0 1/z^2+1/y^2<0 impossivel a<0 impossivel 1/y^2+1/z^2=ab a+b=3 a=0 1/y^2+1/b^2=0 (x,y,z)=(0,k1oo,k2oo), k1,k2pertence Z e soluçao a=1 1/z^2+1/y^2=2 (y^2+z^2)/y^2z^2=2 soluçao (-1,1),(1,-1),(-1,-1),(1,1) y=z x^2+2y^2=3xy^2 delta=9y^4-8y^2 x=(3y^2+-ysqrt(9y^2-8))/2 9y^2-8=a^2 3y^2+ay=2k1 3ay+8=6k1-a^2 3a(y-a)=2(3k1-4) y=2(3k1-4)/3a +a 3k1-4=3k2a k1=(3k2a+4)/3 nao tem soluçao inteira x^2+y^2+z^2=3xyz y=z+a x=z+b z^2+2zb+b^2+z^2+2za+a^2+z^2=3z(z+a)(z+b)=3z(z^2+z(a+b)+ab) 3z^2+2z(a+b)+b^2+a^2=3z^3+3z^2(a+b)+3zab 3z^3+3z^2(a+b-1)+z(3ab-2a-2b)-b^2-a^2=0 se existe infinitos a,b inteiros tal que z seja inteiro entao existem infinitos y,x inteiros 3a+3b-3=9k a+b=3k-1 p=(3ab-2a-2b)/3-k^2/3 q=2k^3-k(3ab-2a-2b)/3-b^2/3-a^2/3 para que se tenha uma soluçao inteira um dos caminhos e q^2*27=-4p^3 p=-3k1^2 q^2=4k1^6 q=2k1^3
-3k1^3=x-k^3/3 2k1^3==2k^3-x-b^2/3-a^2/3 -k1^3=5k^3/3-b^2/3-a^2/3 3k1^3+5k^3-b^2-a^2=0 3k1^3+5k^3=a^2+b^2, tem que provar que existem infinitas quadruplas de numeros que satisfazem a equaçao anterior. 3k1^3=a^2 5k^3=b^2 a=3^nk1 b=5^nk k1=3^(2n-1) k=5^(2n-1) 2014-08-19 18:11 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com>: > Para Douglas oliveira e demais interessados > > > Date: Mon, 16 Jan 2012 12:46:31 -0200 > > Subject: Re: [obm-l] Fobonacci > > From: ralp...@gmail.com > > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > > > Bom, eu não sabia disso mas agora que você falou... > > > > A recorrência que define os termos de ordem ímpar da seq. de Fibonacci > > pode ser obtida assim: > > > > F(2n+1)=F(2n)+F(2n-1) > > F(2n)=F(2n-1)+F(2n-2) > > F(2n-2)=F(2n-1)-F(2n-3) (tô fazendo um esforço para só deixar os de > > ordem ímpar do lado direito) > > > > Então > > > > F(2n+1)=3F(2n-1)-F(2n-3) > > > > Agora deixa eu ver os "alegados" quadrados. Seriam: > > F(n) 5F(n)^2-4 > > 1 1=1^2 > > 2 16=4^2 > > 5 121=11^2 > > 13 841=29^2 > > ... ... > > > > Será que a sequencia da direita tem alguma ordem razoável... Digo, > > olhando para 1,4,11,29..., qual é a recorrência? Hmmm, parece que cada > > termo é 3 vezes o anterior menos ao anteanterior, de novo! Bom, mas > > isso tudo é chute, vamos ver se a gente consegue MOSTRAR isso. > > > > TEOREMA: Defina A(0)=1, A(1)=2 e A(n+1)=3A(n)-A(n-1) (n>=2). Defina > > também B(0)=1, B(1)=4 e B(n+1)=3B(n)-B(n-1). Afirmo que: > > > > i) 5A(n)^2-4=B(n)^2 > > ii) você já vai ver que preciso de algo mais aqui. > > > > Prova: i) Para n=0 e n=1 é só verificar direto. Por indução, se a > > propriedade vale para n=k e n=k-1, então: > > 5A(k+1)^2-4 = 5(3A(k)-A(k-1))^2-4 = 45A(k)^2-30A(k)A(k-1)+5A(k-1)^2-4 > > = (9B(k)^2+36)-30A(k)A(k-1)+B(k-1)^2 > > > > Ah, droga, eu não tenho a mínima ideia do que fazer com aquele > > A(k)A(k-1)... Se fosse algo conhecido, razoável.... tipo, eu acho que > > a coisa toda vai dar (3B(k)-B(k-1))^2, né? Para isso valer, eu > > precisava que fosse 36-30A(k)A(k-1)=-6B(k)B(k-1), isto é, eu queria > > que fosse 5A(k)A(k-1)=B(k)B(k-1)+6... Como provar isto? Façamos por > > indução, ora! Então adicione lá no enunciado o seguinte: > > > > ii) 5A(n)A(n-1)=B(n)B(n-1)+6 > > > > Esta propriedade claramente vale para n=1 e n=2. Agora o passo de > > indução (note que estou usando (i) com n=k, então a indução é feita > > com (i) e (ii) ao mesmo tempo!): > > > > 5A(k+1)A(k) = 5(3A(k)-A(k-1))A(k) = 15A(k)^2-5A(k)A(k-1) = > > (3B(k)^2+12)-B(k)B(k-1)-6 = > > = 3B(k)^2-B(k)(3B(k)-B(k+1))+6 = B(k)B(k+1)+6 > > > > Pronto! Este era o pedaço que faltava para terminar a indução em (i). > Acabou! > > > > Abraço, > > Ralph > > > > P.S.: Agora, para DESCOBRIR que estes números funcionam, dê uma olhada > > na teoria de Equação de Pell, que ajuda a resolver coisas do tipo > > 5n^2-4=p^2. > > > > 2012/1/15 marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com>: > > > Provar q a equação x^2+y^2+z^2=3xyz tem infinitas soluções inteiras. > > > > > > Essa questão ja foi resolvida na lista > > > Um colega tentou uma soluçao diferente: > > > Fez y=n e z=1,encontrando x^2 - 3nx +n^2 +1=0 > > > x= (3n + - raiz(5n^2 - 4))/2 > > > 5n^2 - 4 deve ser um quadrado perfeito > > > Tentei mostrar q existem infinitos valores de n para os quais 5n^2 - 4 > é um > > > quadrado perfeito e não consegui > > > Mas o colega me informou q para n igual aos termos de ordem impar da > > > sequencia de fibonacci, a referida expressão > > > é um quadrado perfeito(1,2,5,13,34,...) > > > Não sabemos provar > > > Alguem poderia esclarecer? > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > ========================================================================= > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
