Uma possível prova, seguindo a linha sugerida no livro do Rudin, em um de seus
exercícios, é a seguinte:
Temos que D = D1 U D2, sendo
D1 = {x | f(x-) < f(x+)} e D2 = {x | f(x-) > f(x+)}
Vamos mostrar que D1 e D2 são enumeráveis, o que implica que D também seja.
Vamos mostrar para D1. O caso de D2 é similar.
Se D1 for vazio, é enumerável. Se não for, tomemos um x genérico no mesmo e
escolhamos um racional p entre f(x-) e f(x+). Considerando a definição do
limite f(x-) e o fato de que Q é denso em R, podemos escolher um racional q em
(a, x) tal que f(t) < p para t em (q, x). Aplicando o mesmo raciocínio à
direita de x, vemos que existe uma terna (p, q, r) de racionais, com q em (a,
x) e r em (x, b), tais que
f(x-) < p < f(x+)
q < t < x ==> f(t) < p
x < t < r ==> f(t) > p
Assim, a cada x de D1 podemos associar uma terna conforme descrito. Vamos agora
mostrar que uma terna (p, q, r) associada a algum x de D1 não pode ser
associada a nenhum elemento de D1 distinto de x.
Suponhamos que (p, q, r) esteja também associada a algum y de D1 distinto de x.
Então y > x ou y < x. Se y > x, então temos que f(y-) < p < f(y+) e que x < y <
r. Assim, q < x < y < r. Se t estiver em (x, y), então:
Como x < t < r, segue-se da associação a x que f(t) > p; mas
Como q < t < y, segue-se da associação a y que f(t) < p
Temos assim uma contradição que mostra que (p, q, r) não pode ser associada a
nenhum y de D1 maior que x. Por um raciocínio similar, vemos que também não
pode ser associada a nenhum y < x de D1. Com isto, construímos uma bijeção
entre D1 e um subconjunto {(p, q, r)} de Q^3. Como Q^3 é enumerável, {(p, q,
r)} também é, o que, pela bijeção, implica que D1 também o seja.
Concluímos, assim, que D é enumerável.
Agora, este raciocínio não se aplica a descontinuidades em que o limite exista
em x (f(x-) = f(x+)) mas seja diferente de f(x). Acho que estas
descontinuidades não necessariamente formam um conjunto enumerável.
Artur Costa Steiner
> Em 13/10/2014, às 20:01, Amanda Merryl <[email protected]> escreveu:
>
> Oi amigos, podem ajudar nisto aqui?
>
> Seja f uma função real definida em (a, b) e D o conjunto dos pontos de (a,
> b) no qual f apresenta descontinuidade do tipo salto (os limites à direita e
> à esquerda existem em R e são diferentes). Mostre que D é enumerável.
>
> Obrigada
>
> Amanda
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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