Suponhamos que, para o polinômio P, de coeficientes inteiros e grau n, tenhamos P(7) = 5 e P(15) = 9. Pelo Teorema de Taylor,
P(x) = P(7) + (x - 7) P'(7) + ((x - 7)^2)/2! P''(7) .... ((x - 7)^n)/n! P_n(7) Então, P(15) = 5 + 8 P'(7) + (8^2)/2! P''(7) .... (8^n)/n! P_n(7), P_n a n-gésima derivada Como todas as derivadas de P têm coeficientes inteiros, a soma 8 P'(7) + (8^2)/2! P''(7) .... (8^n)/n! P_n(7) é múltipla de 8. E como P(15) = 9, concluímos que 9 = 5 + 8k para algum inteiro k. k = 1/2, contrariamente ao fato de k é inteiro. Logo, este polinômio não existe. Artur Costa Steiner > Em 16/11/2014, às 23:15, marcone augusto araújo borges > <marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > > > > From: marconeborge...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: Polinômio > Date: Sun, 16 Nov 2014 12:34:12 +0000 > > Prove que não existe polinômio, P(x), com coeficientes inteiros satisfazendo > as > igualdades: P(7) = 5 e P(15) = 9 > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > ========================================================================= > Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
