4 714 714714 ....fica repetindo na soma dos diigitos. 2014-11-23 22:00 GMT-02:00 Iuri Rezende Souza <iuri_...@hotmail.com>:
> Olá! > > A primeira congruência: > > Como 31 tem mesmo resto que 4 ao dividir por 9, 31*31*31*...*31 (n vezes) > tem o mesmo resto que 4*4*4*...*4 (n vezes) ao dividir por 9. Logo, 31^31 = > 4^31 (mod 9) > > A segunda congruência: > > Observe o que acontece com os restos (mod 9) ao multiplicar o 4 várias > vezes. Temos a sequência 4, 7, 1, 4, 7, 1, 4, 7, 1, 4, 7, 1, ..., que é > periódica com período 3. Então basta olhar o resto do expoente (31) por 3. > > Outro modo de ver isso é qual potência de 4 tem resto 1 ao ser dividida > por 9 (isso é possível, já que 4 e 9 são primos entre si). 4^3 é essa > potência. Então podemos separar os termos do produto de 3 em 3. Observe que > 4^31 = 4*4*4*4*4*...*4 = (4*4*4)*(4*4*4)*(4*4*4)*(4*4*4)*(4*4*4)*(4*4*4)*4 > = ((4^3)^6)*4. Sabendo que 4^3 tem resto 1 ao ser dividido por 9, o resto > desse número é igual a (1^6)*4 = 4. > > Mudando um pouco de problema, um exemplo disso em que podemos simplificar > uma potência com aritmética modular é o critério da divisão por 9 na base > decimal. O número com algarismos abcd é igual a a*10^3 + b*10^2 + c*10^1 + > d*10^0. Observe que 10 deixa mesmo resto que 1 ao ser dividido por 9, ou, > em outras palavras, 10 = 1 (mod 9). Assim, a*10^3 + b*10^2 + c*10^1 + > d*10^0 = a*1^3 + b*1^2 + c*1^1 + d*1^0 (mod 9). Continuando, a*1^3 + b*1^2 > + c*1^1 + d*1^0 = a+b+c+d (mod 9). Acho que isso já dá o que pensar sobre > aritmética modular. > > Att, > Iuri > > > On 19-11-2014 12:16, Vanderlei Nemitz wrote: > > Muito obrigado! Confesso que não entendo muito disso, mas vou procurar o > teorema e estudar. Uma parte que não entendi bem foi: > > Observa-se que chega-se a 1 logo após a 3ª potência do 4. Além disso, a > cada 3 potências de 4, o resto se repete. Como 31 = 1 (mod 3), temos que > > 31^31 = 4^31 = 4^1 = 4 (mod 9). > > Se puder esclarecer, agradeço muito! > > Um abraço! > > Em 18 de novembro de 2014 12:25, Iuri Rezende Souza <iuri_...@hotmail.com> > escreveu: > >> Sim. >> >> A soma da soma da soma ... da soma dos algarismos de um número nos dá o >> resto do número ao ser dividido por 9. >> >> 31 = 4 (mod 9), ou seja, 31 deixa o mesmo resto que 4 quando dividido por >> 9. >> >> Observe o padrão do resto das potências de 4 divididas por 9: >> 4^2 = 4*4 = 7 (mod 9) >> 4^3 = 7*4 = 1 (mod 9) >> 4^4 = 1*4 = 4 (mod 9) >> >> Observa-se que chega-se a 1 logo após a 3ª potência do 4. Além disso, a >> cada 3 potências de 4, o resto se repete. Como 31 = 1 (mod 3), temos que >> >> 31^31 = 4^31 = 4^1 = 4 (mod 9). >> >> PS: existe um resultado em teoria dos números que diz que se mdc(a, n) = >> 1, o menor inteiro não-nulo t tal que a^t = 1 (mod n) divide o número >> phi(n), onde phi(n) é o número de inteiros x menores que n tais que mdc(x, >> n) = 1. Com esse resultado, não precisa procurar padrões: basta saber que >> phi(9) = 6 e usar 31 = 1 (mod 6) a seu favor. >> >> >> >> On 18-11-2014 09:32, Vanderlei Nemitz wrote: >> >> Existe alguma maneira de resolver a questão a seguir sem precisar >> enxergar um padrão, por meio de alguns exemplos? Mesmo que esse padrão >> exista, não podemos garantir que irá permanecer. Gostaria de um método >> geral. >> >> Obrigado! >> >> *O número 31^31 é um inteiro que quando escrito na notação decimal possui >> 47 **algarismos. Se a soma destes 47 algarismos é S e a soma dos >> algarismos de S **é T então a soma dos algarismos de T é igual a: * >> *a) 4 * >> *b) 5 * >> *c) 6* >> *d) 7 * >> *e) 8* >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
