Para ser chato, todas as frases abaixo estao corretas no universo dos Reais:
"x^x^x^x...=2 IMPLICA x=raiz(2)"
"x^x^x^x...=4 IMPLICA x=raiz(2)"
"x^2+4=0 IMPLICA x=2"
"x^2+4=0 IMPLICA x=13"
"2x+x-3x=25 IMPLICA x=755"
"2x+x-3x=25 IMPLICA que eu sou o Papa"
(O problema eh entender o que significa a palavra IMPLICA...)
O problema que voce descobriu ali eh o seguinte: para resolver uma equacao,
nao basta sair dela via implicacoes e chegar a valores de x! Se voce usou
apenas implicacoes, agora voce tem que TESTAR os ***candidatos a solucao
*** que voce achou para ver quais servem!
Em outras palavras, voce tem que ler o que voce fez assim: SE EXISTIR UMA
SOLUCAO POSITIVA x DA EQUACAO x^x^x^x...=4, entao ela DEVE SATISFAZER
x^4=4, portanto ela deve ser x=raiz(2). Note, SE EXISTIR!!! Infeliamente, o
mesmo se aplica a x^x^x^x...=2... Entao a pergunta que voce realmente quer
fazer eh ao contrario:
"Se x=raiz(2), entao L=x^x^x^x... existe? Em caso positivo, L vale quanto?"
Para resolver isso, vamos definir x(0)=1, e, recursivamente,
x(n+1)=raiz(2)^x(n) para n=0,1,2,... Vejamos dois fatos sobre esta
sequencia:
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I) x(n) eh limitada, e 2 eh uma cota superior.
De fato, eh obvio que x(0)<2; e para todo k, se x(k)<2, entao
x(k+1)=raiz(2)^x(k)<raiz(2)^2<2.
Portanto, por inducao, mostramos que x(n)<2 para n=0,1,2,3,...
---///---
Deste item, jah concluimos que, **se existir**, L = lim (n->+Inf) x(n) <=2.
Portanto, fica claro que a resposta NAO PODE SER 4. Mas ainda falta ver se
a resposta eh 2 (a priori, poderia ser que L simplesmente nao existisse, ou
fosse um outro numero!).
---///---
II) {x_n} eh crescente.
Eh facil fazer isso por inducao, mas vou provar logo que se 0<y<2, entao
y<raiz(2)^y, porque isso vai ser util daqui a pouco.
Entao crie F(y)=raiz(2)^y-y e note que quando 0<y<2 tem-se
F'(y)=ln(raiz(2)).raiz(2)^y-1<ln(raiz(2)).raiz(2)^2-1=ln(2)-1<0. Entao F(y)
eh decrescente em (0,2); como F(2)=0, vemos que F(y)>0 em (0,2).
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Pronto, agora usamos os canhoes de Navarone:
TEOREMA DE ANALISE REAL: TODA SEQUENCIA CRESCENTE COM COTA SUPERIOR TEM QUE
TER LIMITE.
Portanto, por (I) e (II), vemos que L existe. Mais ainda, por (I), jah
sabemos que L<=2.
Enfim, lembre que x(n+1)=raiz(2)^x(n). Tomando n->+Inf (e SABENDO QUE L
EXISTE), podemos escrever L=raiz(2)^L. Mas lembra que se 0<L<2, temos
L<raiz(2)^L... Entao nao pode ser L<2!
Ufa! Das duas ultimas linhas, conclui-se que L=2. Entao agora a gente pode
afirmar com certeza que....
"x^x^x^x^...=2 se, e somente se, x=raiz(2)"
"x^x^x^x^...=4 nao tem solucao real" (se tivesse solucao, como voce
mostrou, esta solucao teria que ser raiz(2)...mas a linha anterior diz que
nao pode ser)
Abraco, Ralph.
2015-01-15 15:10 GMT-02:00 Vanderlei Nemitz <[email protected]>:
> Estou reenviando, pois parece que não foi recebido.
>
> Pessoal, estou com uma dúvida:
>
> *Na igualdade x^x^x^... = 2, temos que x^2 = 2, que implica x = raiz
> quadrada de 2.*
>
> Se fizermos x^x^x^... = 4, temos x^4 = 4, que também implica x = raiz
> quadrada de 2.
>
> Claro que o segundo resultado está errado, mas como justificar?
>
> Mais que isso, como saber quando podemos utilizar esses artifícios sem
> incorrer em um absurdo. Imagine que alguém tivesse proposto apenas a
> segunda equação? Como saber quando o limite existe?
>
> Obrigado!
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
