Bem, para a bijeção só falta mostrar a injeção, suponha por absurdo x<y e f(x)=f(y), a sequência x, y, x, y, x, y, .... é divergente, mas sua imagem não, pois é constante, já q f(x)=f(y). Agora, suponha a inversa "g" descontínua, então existe e>0, e x real tais que para todo n natural, |g(x)-g(y)|>e, para |x-y|<1/n. Então vc faz x=f(a) e y=f(bn), onde a sequência bn é divergente, assim fica: |a-bn|>e (já que bn diverge) além disso |f(a)-f(bn)|<1/n, o que implica que f(bn) converge para f(a), gerando um absurdo. Talvez haja algum erro bobo que precise ser corrigido, mas acho q é isso.
Em 27 de fevereiro de 2015 08:37, Gabriel Lopes <cronom...@gmail.com> escreveu: > *Gostaria de ajuda com a seguinte questão vinda da Romênia , acho que da > olimpíada (o livro não especifica qual olímpíada e qual ano) : > > - Seja f: R --> R uma função sobrejetiva , satisfazendo a seguinte > propriedade : para toda sequência divergente (a_n) , n > = 1 , a sequência > (f(a_n)) , n> = 1 , também é divergente . Prove que f é bijetiva e que > sua função inversa f^(-1) é contínua. > > *O livro oferta a seguintes dicas : > > 1.(Para provar que f é bijetiva) Tome x,y em R distintos e considere > (a_n) ,n > = 1 , a sequência divergente tal que a_2k = x e a_2k-1 = y , > para todo k > = 1 , e utilize a segunda hipótese do enunciado . > > * Aqui deduzimos que existe e > 0 tal que para todo n* em N temos: m,n > > n*, m > n , então | f(a_m) - f(a_n) | = | f(x) - f(y) | > = e ; > pela relação entre sequências convergentes e sequências de Cauchy , e > então negando a afirmação : ( f(a_n) ) ,n > =1 , é convergente . > > 2.(Para provar que f^(-1) é contínua) Use as Hipóteses sobre f para > mostrar que f^(-1) transforma sequências convergentes em sequências > convergentes. > > *Parei por aqui mas os seguintes comentários são pertinentes : > > I. O capítulo do livro em que tirei este problema fala sobre > Continuidade Sequencial e prova o seguinte TMA : Uma função f: I --> R > , onde I é um intervalo, é contínua se , e só se , a seguinte condição for > satisfeita : para todo a em I e toda sequência (a_n),n > = 1, de > elementos de I , temos : lim(a_n) = a , então lim( f(a_n) ) = f(a) > . (não consegui só com ele) > > II. Procurei sobre o TMA em outro livro ,Curso de Análise Vol.1 Elon > Lages , Capítulo VII , e encontrei o seguinte corolário : A fim de que f > seja contínua no ponto a , é suficiente que , para toda sequência de > pontos a_n de X ( creio que X é uma união de Intervalos) com lim( > a_n ) = a , exista lim( f(a_n) ) . O mesmo não foi demonstrado > ,e também não consegui faze-lo , mas acho que ele é suficiente para > resolver a questão. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
