Seja S = 1^k + 2^k +... (p-1)^k ==> S ≡ 0 (mod p) se (p-1) | k e S ≡ p-1
(mod p) se (p-1) | k, p primo e k inteiro positivo.
OBS: | k (não divide k) e | k (divide k)
(p-1) | k ==> todas as parcelas são congruentes a 1 (mod p) por
Euler-Fermat mdc(a,m) = 1 ==> a^ Ф(m) ≡ 1 (mod m). (nota: Ф(p) = p-1; p
primo)
Então fica provado.
se (p-1) | k S = 1^k + 2^k +... (p-1)^k
Temos o lema que: se g é raiz primitiva de m então (Z//mZ)
={1,g^1,g^2,...,g^(Ф(m)-1)}
Não sei como colocar a barrinha em cima de cada classe de equivalência.
P^n admite raiz primitiva, se p é primo ==> Existe g Ɛ Z tal que g é raiz
primitiva de p.
Temos pelo lema acima que:
S ≡ 1 + g^k + g^2k +...+ g^(p-2)*k (mod p)
multiplicando-se por g^K ambos os lados
g^k * S ≡ g^k + g^2K + ...+ g^(p-2)*k +g^(p-1)*k (mod p), por Euler-Fermat:
g^(p-1) ≡ 1 (mod p) ==>
g^k * S ≡ 1 +g^k + g^2K + ... +g^(p-2)*k (mod p)
g^k * S ≡ S (mod p)
(g^k - 1) * S ≡ 0 (mod p)
g é raiz primitiva de p e (p-1) | k ==> g^k - 1 não é congruente a zero
(mod p)==>
==> S ≡ 0 (mod p).
Não só vale para o expoente 10, vale para qualquer k que não seja múltiplo
de 100.
Valeu a pena, pois, tive que rever conceitos.
Saudações,
PJMS
Em 20 de março de 2015 12:30, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:
> Boa tarde!
>
> Não consegui matar.
>
> Só cheguei até 1^10 + 2^10 + 3^10 +...+99^10 + 100^10 ≡ 0 (mod101)
> Como 1^10 ≡ 100^10 (mod101); 2^10 ≡ 99^10 (mod101) e assim
> sucessivamente (termoa equidistantantes ao extremo são simétricos módulo
> 101)
> 2* (1^10 + 2^10 + 3^10 +...+ 49^10 + 50^10) ≡ 0 (mod101)
>
> Como m.d.c.(2,101)= 1 ==> 1^10 + 2^10 + 3^10 +...+ 49^10 + 50^10 ≡ 0 (
> mod101)
>
> E aí fui fazendo no braço e deu certo. Achei congruência (mod 101) para os
> primos e para os demais por composição.
>
> Mas, percebi algo:
> 10^2 +1 é primo.
>
> então para 2^2+1 = 5 é primo.
>
> (1^2+2^2+3^2+4^2) ≡ 0 (mod 5)
>
> 4^2 +1 = 17 é primo
>
> (1^4+ 2^4 + ...+ 15^4 + 16^4) ≡ 0 (mod17); confirmado
>
> 6^2 +1 = 37 é primo;
>
> (1^6+ 2^6+ ...+ 35^6 + 36^6) ≡ 0 (mod37); confirmado
>
> Repeti no computador.
>
> 14^2 + 1 = 197 é primo e 16^2 +1 =257 é primo e também atenderam.
>
> Será que podemos afirmar:
>
> a^2 + 1 é primo ==> 1^a + 2^a + ... + (a^2-1)^a + (a^2)^a ≡ 0 (mod a^2+1)
> ???
>
>
>
>
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
> Em 19 de março de 2015 13:11, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
> Mostrar que 1^10 + 2^10 + 3^10 +...+ 100^10 é divisível por 101.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
