Não é uma solução com geometria pura. ___________________________________________________________________
Lema) Um quadrilátero XYZW é inscritível se somente se XZ * YW = XY * ZW + XW * YZ . Solução) Sejam p, r, a, b e c a notação usual de um triângulo ABC qualquer. Seja F o ponto de tangência da circunferência inscrita com o lado AC. Sabemos que BE = BD = x, CE = CF = y e AD = AF = z. Podemos notar as seguintes equações: . x + y = a . y + z = b . z + x = c Somando todas estas equações: 2(x + y + z) = 2p => x + y + z = p => BE = p - b . Considerando o vértice B como origem do sistema cartesiano com semi eixo OX positivo passando por BC, temos as seguintes coordenadas para A e L: A (x_A , y_A): x_A = c * cos B e y_A = c * sen B . L (x_L , y_L): x_L = p - b e y_L = 2r . . x_A - x_L = c * cos B - (p - b) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2a) - (a + c - b) / 2 = (c^2 - b^2 -ac + ab) / (2a) = (c - b) * (p - a) / a . . y_A - y_L = c * sen B - 2r = 2pr / a - 2r = 2r * (p - a) / a . Assim: AL^2 = (x_A - y_A)^2 + (x_L - y_L)^2 = ((p - a) / a)^2 * ((c - b)^2 + 4 * r^2) (I) . Analogamente: CK^2 = ((p - c) / c)^2 * ((b - a)^2 + 4 * r^2) (I) . __________________ obs 1: Como a + c = 3b => 2p = 4b => p = 2b => p = 2p - 2b = a + b + c - 2b => p - a = c - b (*) . obs 2: S_ABC = raiz(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) = p * r => (Usando b = (a + c)/3) r = raiz(2 * (2c - a) * (2a - c)) / 6 (**) . __________________ Do triângulo retângulo AEK: AK^2 = (p - a)^2 + 4 * r^2 => (usando (*)) AK^2 = (c - b)^2 + 4 * r^2 . Substituindo essa relação em (I): AL = (p - a) / a * AK (II) . Pelo mesmo argumento: CK = (p - c) / c * CL (II) Usando (**), podemos calcular AK: AK = raiz(2 * (2c - a) * (2a - c) / 9 + (2c - a)^2 / 9) = raiz(a*(2c - a) / 3) (III) . Analogamente: CL = raiz(c*(2a - c) / 3) (III) . Para calcular LK, vamos considerar o triângulo ILK e aplicar a lei dos co-senos no ângulo I = 180 - B: LK^2 = r^2 + r^2 - 2 * r * r * cos(180 - B) = 2 * r^2 * (1 + cos(B)) = r^2 / (a * c) * ((a + c)^2 - b^2) = 4 * p * (p - b) * r^2 / (a * c) => LK = 2 * r * raiz(p * (p - b) / (a * c)) (IV) . Para finalizar, vamos mostrar que (usando (*), (II), (III) e (IV)): AK * CL = AL * CK + LK * AC <=> AK * CL = (p - a) * (p - c) / (a * c) * AK * CL + 2 * b * r * raiz(p * (p - b) / (a * c)) <=> 1 = (p - a) * (p - c) / (a * c) + r / (AK * CL) * 2 * b * raiz(p * (p - b) / (a * c)) <=> 1 = (p - a) * (p - c) / (a * c) + (raiz(2 * (2c - a) * (2a - c)) / 6) / (raiz(a*(2c - a) / 3) * raiz(c*(2a - c) / 3)) * 2 * b * raiz(2b * (2b - b) / (a * c)) <=> 1 = (p - a) * (p - c) / (a * c) + 2 * b^2 / (a * c) <=> ac = p^2 - (a + c) * p + 2 * b^2 <=> 0 = p^2 - (a + c) * p + p * b <=> 0 = p - (a + c) + b <=> a + c = 3 * b . c.q.d -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
