2015-05-20 13:04 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <[email protected]>: > > Hummm acho que consegui! > > > > Vamos lá, fiz z^2=y^4(assim z deve ser um quadrado perfeito). Logo a equação > x^2-2z^2=1. Essa equação representa uma hipérbole, então dá pra encontrar as > soluções racionais nessa curva, fácil ver que (x,y)=(1,0) é solução, assim > considere uma reta que passa por esse ponto e intercepta a hip. no outro > ponto (a,b), logo a equação dessa reta será y-0=m(x-1), ou y=m(x-1). > > Agora substituindo na equação da hip. Teremos a seguinte equação do segundo > grau (1-m^2)x^2+4m^2x-2m^2-1=0, onde conhecemos uma das raízes que é “1”. > > Agora podemos usar o produto para encontrar a outra “a” , assim > > 1.a=(-2m^2-1)/(1-2m^2), logo temos todas as soluções racionais da curva > > x^2-2z^2=1, que serão (x,z)=( (-2m^2-1)/(1-2m^2),m((-2m^2-1)/(1-2m^2) -1) ). > > Agora basta verificar para quais valores de m x=(-2m^2-1)/(1-2m^2) será > inteiro, podemos escrever x=1- 2/(1-2m^2), assim 1-2m^2 deve ser divisor de > 2, ou seja, 1-2m^2=1, 1-2m^2=-1, 1-2m^2=2(não real), 1-2m^2=-2(não inteira), > onde temos respectivamente os valores m=0, m=-1, m=1 , assim os valores de x > só podem ser -1 ou 3, e os de z só podem ser 0,2,-2, mas como z deve ser um > quadrado perfeito só pode ser igual a 0, assim (x,y)=(1,0), ou (x,y)=(-1,0).
m não precisa ser inteiro, pode ser racional. A equação com z, x^2 - 2z^2 = 1 é uma equação de Pell que tem infinitas soluções. O que falta é mostrar que nenhuma delas tem a segunda coordenada sendo um quadrado perfeito. Sol trivial: (x,z) = (1, 0) Sol fundamental: (x,z) = (3,2) Outras soluções são obtidas tomando x = "parte inteira" e y = "parte irracional" de (3 - 2*raiz(2))^n. Por exemplo, para n=2 temos (9 - 2*3*2*raiz(2) + 8) = 17 + 12*raiz(2), e 17^2 = 289 = 2 * 144 + 1. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
