Bom dia!

No caminho a seguir são apresentados todos os ternos pitagóricos
primitivos, ou seja, quando mdc(x,y,z) =1,
http://arquivoescolar.org/bitstream/arquivo-e/42/1/tnumeros.pdf

  Seja (x,y,z) um terno pitagórico primitivo.

Então z é ímpar e x e y tem paridades opostas.


As soluções primitivas de x^2 + y^2 = z^2, com y par são

x = r^2 - s^2, y = 2rs e z = r^2 + s^2 com r > s > 0 e r,s inteiros.

Como x é ímpar, r e s têm paridade oposta logo pelo menos um é par e 4 |y.

Para os ternos não primitivos temos (kx, ky, kz), k inteiro e k>1 , onde
(x,y,z) é um terno primitivo.

Portanto atende também.

As demonstrações estão no arquivo.


Saudações,
PJMS.





Em 25 de maio de 2015 20:34, Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com>
escreveu:

> Olá, Pedro,
>
> Quando elevamos um número ao quadrado, temos a seguinte tabela mod4:
> (x, x^2)
> (0, 0)
> (1, 1)
> (2, 0)
> (3, 1)
>
> Vamos analisar a expressão módulo 4. Assim: a^2 + b^2 == c^2 (mod 4)
>
> Temos apenas 3 possibilidades para (a^2, b^2):
> 1. (0, 0) => c^2 = 0
> 2. (0, 1) => c^2 = 1
> 3. (1, 0) => c^2 = 1
> 4. (1, 1) => c^2 = 2 (impossível)
>
> Logo, a^2 ou b^2 sempre são côngruos a 0 (mod4). Isso implica que a ou b
> são sempre côngruos a 0 ou 2 (mod 4).
>
> *Caso 1:*
> Suponha que nem a nem b são múltiplos de 4. Assim, a == b == 2 (mod 4).
> Assim, a^2 + b^2 = c^2 == 0 (mod4). Assim, c == 0 ou c == 2 (mod4).
>
> Se c == 0(mod4), então c^2 == 0(mod16). Mas, a^2 + b^2 == 8(mod16).
> Absurdo.
> Se c == 2(mod4), então c^2 == 4(mod16). Mas, a^2 + b^2 == 8(mod16).
> Absurdo.
>
> Logo, ou a ou b tem que ser múltiplo de 4.
>
> *Caso 2:*
> Suponha que a==2(mod4). Temos que b = 2k+1. Assim: a^2 + b^2 = c^2 ==
> 1(mod4)
>
> (4u+2)^2 + (2k+1)^2 = (4v+1)^2
> 16u^2 + 16u + 4 + 4k^2 + 4k + 1 = 16v^2 + 8v + 1
>
> Analisando mod8, temos:
> 4 + 4k^2 + 4k + 1 == 1 (mod 8)
> 4 + 4k^2 + 4k == 0 (mod 8)
>
> Dividindo por 4, temos:
> 1 + k^2 + k == 0 (mod2)
> 1 + 2k == 0(mod2)
> 1 == 0(mod2). Absurdo.
>
> Logo, a tem que ser múltiplo de 4.
>
> *Caso 3:*
> Análogo ao caso 2, apenas trocando o a com o b.
>
> Assim, concluímos que ou a ou b tem que ser múltiplo de 4.
>
> Abraços,
> Salhab
>
> 2015-05-25 19:04 GMT-03:00 Pedro Chaves <brped...@hotmail.com>:
>
> Caros colegas,
>>
>> Seja (a, b, c)um terno pitagórico, quer dizer:  a, b e c são inteiros
>> positivos e a^2  + b^2 = c^2.
>> Como provar que a ou b é múltiplo de 4?
>>
>> Abraços!
>> Pedro Chaves
>> _________________________________________
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =========================================================================
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =========================================================================
>>
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